"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Чтобы умножить многозначное число на трёхзначное, достаточно последовательно умножить его на единицы, десятки и сотни второго множителя, а затем сложить полученные результаты. Такой приём помогает аккуратно выполнять вычисления с большими числами и решать задачи о стоимости, количестве предметов и других ситуациях. Главное — следить за разрядами: от них зависит, где записывать каждое неполное произведение.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многозначное число — число, записанное несколькими цифрами и имеющее несколько разрядов. Например, в числе 246 цифра 2 обозначает сотни, 4 — десятки, а 6 — единицы. Разряды показывают, какое значение имеет каждая цифра. Это нужно, чтобы правильно расположить число при вычислениях в столбик.
Трёхзначное число — число, в записи которого есть разряды сотен, десятков и единиц. Например, 123 состоит из 1 сотни, 2 десятков и 3 единиц. При умножении важно помнить не только сами цифры, но и их места. Одна и та же цифра в разных разрядах обозначает разные величины.
Неполное произведение — результат умножения многозначного числа на одну цифру множителя с учётом её разряда. Например, при вычислении 246 · 123 получают произведения 246 · 3, 246 · 20 и 246 · 100. Каждое из них учитывает вклад единиц, десятков или сотен. Их складывают, чтобы получить всё произведение.
Письменное умножение — запись вычисления по разрядам в столбик с последующим сложением неполных произведений. Такой способ позволяет не держать все промежуточные результаты в памяти. Строки располагают со сдвигом, чтобы разряды не смешивались. Он удобен, когда числа велики и устный счёт становится трудным.
Трёхзначный множитель раскладывают на сотни, десятки и единицы, потому что каждая его цифра имеет собственное разрядное значение. Например, 123 — это 100 + 20 + 3, а не просто три цифры без связи между ними. По распределительному свойству умножения произведение на сумму равно сумме произведений: 246 · (100 + 20 + 3) = 246 · 100 + 246 · 20 + 246 · 3. Так сложное вычисление превращается в несколько знакомых умножений на одну цифру с учётом разряда.
В столбик обычно записывают первым многозначное число, а под ним — трёхзначный множитель. Цифру единиц нижнего числа ставят под цифрой единиц верхнего, десятки — под десятками, сотни — под сотнями. Совпадение разрядов помогает правильно понимать, какую часть множителя используем на каждом шаге. Перед началом полезно проверить, что единицы действительно стоят друг под другом.
При умножении на цифру десятков второй результат начинают записывать под разрядом десятков, то есть сдвигают на одну позицию влево. Причина в том, что эта цифра обозначает десятки: например, 2 в числе 123 означает 20, поэтому 246 · 20 в десять раз больше, чем 246 · 2. При умножении на цифру сотен результат сдвигают на два разряда, потому что цифра сотен означает сотни. Такой сдвиг сохраняет значение каждого неполного произведения.
Каждое неполное произведение находят умножением многозначного числа на одну цифру. Двигаются справа налево: умножают единицы, затем десятки, сотни и следующие разряды, записывая цифру результата и перенося десятки в следующий разряд. После вычисления всех строк их складывают столбиком, начиная с единиц. При сложении следят, чтобы единицы, десятки и сотни оставались на своих местах.
Готовый ответ стоит проверить, потому что ошибка в переносе или сдвиге может изменить его во много раз. Для быстрой оценки округляют множители и сравнивают порядок полученного результата с точным числом. Можно также разделить произведение на один из множителей и проверить, получается ли второй. Ещё один способ — повторить вычисление другим способом, например сначала раскрыть разложение множителя на разрядные слагаемые.
| Шаг алгоритма | Что сделать | На что обратить внимание |
|---|---|---|
| Запись примера | Записать множители в столбик, совместив разряды единиц | Обычно многозначное число записывают первым |
| Умножение на единицы | Умножить первый множитель на цифру единиц трёхзначного множителя | Записать первое неполное произведение без сдвига |
| Умножение на десятки | Умножить первый множитель на цифру десятков | Начать запись второго неполного произведения с разряда десятков |
| Умножение на сотни | Умножить первый множитель на цифру сотен | Начать запись третьего неполного произведения с разряда сотен |
| Сложение | Сложить все неполные произведения | Соблюсти разрядное расположение цифр |
| Проверка | Оценить порядок величины или выполнить обратное действие | Проверить, что результат соответствует условию |
Пользуйся таблицей сверху вниз: сначала правильно запиши множители, затем найди неполные произведения и сложи их. Сдвиг каждой строки показывает, к какому разряду относится цифра нижнего множителя. В конце выбери подходящий способ проверки.
Нужно найти произведение трёхзначных чисел. Представим 123 как сумму разрядных слагаемых: 100, 20 и 3. Поэтому достаточно умножить 246 на каждое слагаемое, а результаты сложить.
Ответ: 30258.
В множителе 204 цифра 0 стоит в разряде десятков. Разложим его как 200 + 0 + 4: нулевой вклад не изменит сумму, но цифру ноль нельзя принять за пропуск разряда. Поэтому умножаем на единицы и сотни, а затем складываем полученные результаты.
Ответ: 627300.
В каждой коробке одинаковое число книг, а коробок несколько. Значит, общее количество находится умножением числа книг в одной коробке на число коробок: 125 · 318. Перестановка множителей не меняет произведение, поэтому для письменного вычисления удобно взять первым 318.
Ответ: заказали 39750 книг.
Если при записи не совместить разряды единиц, цифры нижнего множителя окажутся под неправильными разрядами верхнего числа. Так ошибаются, когда выравнивают числа по краю листа, не проверяя столбцы. Перед умножением отметь единицы и проследи, чтобы они стояли друг под другом. После этого десятки и сотни также должны совпасть.
Второе и третье неполные произведения иногда записывают без сдвига. Это происходит, если считать цифры множителя отдельными числами и забыть, что они обозначают десятки и сотни. Проверь запись разложением, например 123 = 100 + 20 + 3: результат на 20 должен быть в десять раз больше умножения на 2. Если строки расположены одинаково, разрядный сдвиг потерян.
При умножении на одну цифру легко потерять перенос или прибавить его не к тому разряду. Обычно это случается при переходе от единиц к десяткам, когда внимание сосредоточено на таблице умножения. Двигайся справа налево и сразу записывай перенос рядом со следующим разрядом. Проверка повторным умножением каждой цифры помогает найти место сбоя.
При сложении неполных произведений можно неверно поставить цифры, особенно если в трёхзначном множителе есть ноль. Ноль иногда ошибочно считают причиной пропустить разряд, хотя он показывает место цифры в числе. Сверь каждую строку с её разрядом и складывай столбик справа налево. Прикидка произведения подскажет, не получилось ли число неожиданно маленьким или большим.
Для умножения в столбик нужны знания о разрядном составе чисел, таблица умножения, умножение на однозначное число и сложение столбиком. Этот навык помогает решать текстовые задачи на произведение, находить общую стоимость или количество предметов. Он также пригодится в вычислениях с большими числами. Дальше те же знания применяются при письменном умножении и делении, прикидке и проверке вычислений.
Почему при умножении на десятки и сотни нужно делать сдвиг?
Цифра десятков обозначает не отдельные единицы, а число десятков, поэтому её вклад в произведение начинается с разряда десятков. Цифра сотен означает сотни, и её результат начинают записывать с разряда сотен. Сдвиг в столбике помогает сохранить это значение.
Нужно ли записывать неполное произведение, если в множителе стоит ноль?
Умножение на ноль даёт нулевое неполное произведение, поэтому отдельную строку с нулями обычно не записывают. Но разряд нуля учитывать необходимо: например, в числе 204 ноль стоит в разряде десятков, а цифра 2 обозначает сотни.
Как не перепутать порядок цифр при умножении в столбик?
Запишите числа так, чтобы разряды единиц стояли один под другим, а затем проверьте положение остальных разрядов. Умножение начинайте с единиц нижнего числа и двигайтесь к десяткам и сотням. Подписывайте или мысленно отмечайте, к какому разряду относится очередной множитель.
Куда прибавлять цифру, которую запомнили при переносе?
Перенесённую цифру прибавляют к результату умножения в следующем разряде слева. Например, после умножения единиц переходят к десяткам и добавляют к их произведению то, что запомнили. После последнего разряда перенесённую цифру записывают в начале результата.
Как быстро проверить ответ, не выполняя всё вычисление заново?
Прикиньте произведение, округлив множители до удобных чисел, и сравните порядок величины с ответом. Например, 318 · 125 примерно равно 300 · 100, то есть около 30 000. Если результат сильно отличается, проверьте разрядные сдвиги и сложение.
2.63—2.65. Умножение многозначных чисел на трёхзначное число
