"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Арифметические действия позволяют получать новые числа из известных и вычислять значения выражений. Сложение объединяет числа, вычитание находит разность, умножение связано с повторным сложением, а деление помогает узнать, на сколько равных частей распределено число. Чтобы считать верно, нужно знать названия компонентов и обратные действия, учитывать свойства операций и соблюдать порядок вычислений: сначала скобки, затем умножение и деление, после них — сложение и вычитание.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сложение — действие, при котором два или несколько слагаемых объединяются, а результат называется суммой. Его записывают знаком +: например, 7 + 4 = 11. Сложение помогает узнать общее количество, когда известны части.
Вычитание — действие нахождения разности по уменьшаемому и вычитаемому; оно обратно сложению. Запись 11 − 4 = 7 означает, что от уменьшаемого 11 отняли вычитаемое 4 и получили разность 7. Вычитанием находят остаток или неизвестную часть целого.
Умножение — действие нахождения произведения, которое для натурального множителя можно понимать как повторное сложение. Его обозначают знаком · или точкой между числами: 3 · 4 = 12. Умножение удобно, когда одно и то же число складывают несколько раз.
Деление — действие нахождения частного по делимому и делителю; деление на ноль не определено. В записи 12 : 3 = 4 число 12 — делимое, 3 — делитель, а 4 — частное. Деление помогает разделить на равные части или узнать, сколько раз одно число содержится в другом.
У каждого действия есть свои компоненты и свой знак: слагаемые соединяет знак +, уменьшаемое и вычитаемое разделяет знак −, множители соединяет знак умножения, а делимое и делитель — знак деления. Название результата тоже зависит от операции: сумма, разность, произведение или частное. Эти названия помогают точно объяснить ход вычисления и найти неизвестный компонент. Например, в равенстве 9 + x = 14 неизвестно слагаемое, поэтому для его нахождения используют вычитание.
Сложение и вычитание образуют пару обратных действий, потому что одно действие отменяет результат другого. Если к числу прибавили 6, то, вычитая 6, вернутся к исходному числу; поэтому разность помогает проверить сумму. Аналогично умножение и деление отменяют друг друга, если делитель не равен нулю. Так, из 7 · 5 = 35 следует 35 : 5 = 7, и обратное действие служит проверкой вычисления.
Свойства действий позволяют менять способ вычисления, не меняя результата. Переместительное свойство сложения и умножения разрешает переставлять слагаемые или множители, а сочетательное — по-разному группировать их; это помогает сначала объединить удобные числа. Распределительное свойство a(b + c) = ab + ac связывает умножение со сложением и позволяет раскрывать скобки или выносить общий множитель. Эти правила нельзя переносить на вычитание и деление: перестановка чисел там обычно меняет ответ.
Натуральный множитель показывает, сколько одинаковых слагаемых складывают: например, 4 · 3 = 3 + 3 + 3 + 3. Для дробного или отрицательного множителя такое прямое толкование как повторения не подходит, поэтому умножение определяют шире, с учётом правил для этих чисел. У деления есть другое ограничение: делитель не может быть нулём. Если бы a : 0 равнялось некоторому числу q, то по смыслу обратного действия получилось бы 0 · q = a, а ноль на любое число равен нулю.
Порядок действий нужен, чтобы одно и то же выражение все вычисляли одинаково. Сначала находят значения выражений в скобках, затем выполняют умножение и деление в порядке слева направо, а после — сложение и вычитание также слева направо. Поэтому действия одинакового приоритета идут по порядку записи, а не выбираются произвольно. Скобки могут изменить порядок: они требуют сначала вычислить заключённую в них часть.
| Свойство | Сложение | Вычитание | Умножение | Деление |
|---|---|---|---|---|
| Обозначение действия | + | − | · | : |
| Названия компонентов | Слагаемые | Уменьшаемое, вычитаемое | Множители | Делимое, делитель |
| Название результата | Сумма | Разность | Произведение | Частное |
| Обратное действие | Вычитание | Сложение | Деление | Умножение |
| Ограничения и особые случаи | Выполняется для рассматриваемых чисел | Выполняется по правилам чисел данного множества | При натуральном множителе возможно повторное сложение | Делитель не равен нулю |
| Основные свойства | Переместительное, сочетательное | Не переместительное | Переместительное, сочетательное, распределительное относительно сложения | Не переместительное |
Сначала найдите в строке нужную характеристику, а затем сравните, как она устроена у разных действий. Например, строка «Обратное действие» подсказывает, чем проверить результат. Для вычислений особенно полезны строки об ограничениях и свойствах.
Вычислить: 438 + 267 − 159. Сложение и вычитание имеют одинаковый приоритет, поэтому считаем слева направо. Удобно сначала сложить числа по разрядам, а затем вычесть 159 из полученной суммы.
Ответ: 546.
Вычислить значение выражения: 72 : 8 · 5 + 13. Сначала выполняем деление и умножение, потому что они имеют приоритет перед сложением. Деление и умножение здесь равноправны, поэтому идём слева направо, не переставляя действия.
Ответ: 58. Если сначала сложить 5 и 13 или умножить на них иначе, получится другое выражение, поэтому порядок действий важен.
Вычислить: (3,6 − 1,8) : 0,3 + 2/5. Сначала считаем в скобках, а затем выполняем деление и сложение. Десятичное частное удобно найти, умножив делимое и делитель на 10, а перед сложением представить результат и обыкновенную дробь в удобном виде.
Ответ: 6,4. Проверка деления: 6 · 0,3 = 1,8; порядок вычислений соблюдён.
Ошибка: выполнять действия строго слева направо и, например, сначала складывать, хотя в выражении есть умножение или деление. Так поступают, когда ориентируются только на расположение знаков и забывают о приоритете действий. Чтобы проверить себя, отметьте скобки и сначала найдите все действия более высокого приоритета; при равном приоритете считайте слева направо.
Ошибка: называть результат сложения слагаемым или путать делимое с делителем. Часто слова кажутся похожими, поэтому их запоминают без связи с записью действия. Проверяйте роль числа по равенству: в a + b = c числа a и b — слагаемые, а c — сумма; можно также свериться с таблицей компонентов.
Ошибка: считать, что любое число можно разделить на любое другое, в том числе на ноль. Такое рассуждение смешивает деление на ненулевое число с недопустимым случаем и не учитывает обратное действие. Проверка простая: частное при делении a : 0 должно было бы при умножении на 0 дать a, но произведение на ноль всегда равно нулю.
Ошибка: переставлять числа при вычитании или делении, как при сложении и умножении. Это происходит из-за того, что переместительное свойство запомнили сразу для всех действий. Сравните примеры 9 − 4 и 4 − 9, а также 12 : 3 и 3 : 12: разные ответы показывают, что порядок менять нельзя.
Для вычислений нужны знания о разрядном составе чисел, таблицах сложения и умножения, дробях и знаках чисел. Если эти навыки неуверенные, полезно отдельно потренировать вычисления с числами того вида, который встречается в выражении. Арифметические действия используются при составлении и вычислении числовых выражений, решении уравнений и текстовых задач. Позже те же правила понадобятся при работе с буквенными выражениями, степенями, формулами и процентами.
Почему нельзя выполнять все действия в выражении слева направо?
У действий разные приоритеты: умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания. Если считать всё слева направо, можно получить неверный результат. Например, в выражении 2 + 3 · 4 сначала умножают 3 на 4, а затем прибавляют 2.
Можно ли делить число на ноль?
Нет, деление на ноль не определено. Не существует такого числа, которое при умножении на ноль дало бы ненулевое делимое. Поэтому запись a : 0 недопустима.
Почему вычитание и деление не обладают переместительным свойством?
При перестановке чисел в этих действиях меняется их роль: уменьшаемое не то же самое, что вычитаемое, а делимое — не то же самое, что делитель. Например, 8 − 3 = 5, но 3 − 8 = −5; 12 : 3 = 4, а 3 : 12 = ¼. Значит, результат обычно меняется.
Когда умножение можно заменить повторным сложением?
Когда множитель — натуральное число, то есть положительное целое число. Например, 4 · 3 можно представить как 3 + 3 + 3 + 3. Такое объяснение не подходит напрямую для дробного или отрицательного множителя.
Как проверить результат арифметического действия обратным действием?
Сложение проверяют вычитанием: из суммы вычитают одно слагаемое и получают другое. Вычитание проверяют сложением, умножение — делением, а деление — умножением делителя на частное. Например, если 45 : 5 = 9, то проверка: 9 · 5 = 45.
2.89—2.90. Арифметические действия над числами
