2.88. Координаты точек на плоскости

Определения и обозначения

Координатная плоскость — плоскость с двумя перпендикулярными координатными осями, общим началом отсчёта и единичным отрезком. Обычно горизонтальную ось обозначают x, а вертикальную — y. Такая система нужна, чтобы описывать положение точки двумя числами, а не только словами.

Координаты точки — упорядоченная пара чисел, задающая её положение; первое число называют абсциссой, второе — ординатой. Запись (x; y) показывает, какое смещение нужно сделать сначала по горизонтали, а затем по вертикали. Слово «упорядоченная» напоминает, что числа нельзя переставлять местами.

Абсцисса точки — её первая координата, показывающая положение относительно оси y. Она сообщает, насколько точка смещена вправо или влево от вертикальной оси. Абсцисса нужна, чтобы определить горизонтальное положение точки.

Ордината точки — её вторая координата, показывающая положение относительно оси x. Она указывает, насколько точка расположена выше или ниже горизонтальной оси. Вместе с абсциссой ордината позволяет однозначно задать точку.

Как это устроено

Две числовые оси образуют координатную плоскость, когда пересекаются под прямым углом и имеют общий ноль. Горизонтальную ось называют x, вертикальную — y, а точку пересечения обозначают O. Перпендикулярность важна потому, что смещения по двум направлениям можно отделить друг от друга: одно отвечает за положение влево или вправо, другое — вверх или вниз.

На каждой оси задают направление и единичный отрезок — отрезок, длину которого принимают за единицу. Числа на оси отсчитывают от нуля: в положительном направлении они возрастают, в противоположном получают знак минус. Без направления нельзя было бы различить, например, смещение вправо и влево, а без единичного отрезка — понять, насколько далеко находится точка.

Чтобы построить точку по паре (x; y), сначала отложите абсциссу по горизонтали от начала координат. Затем из полученного положения двигайтесь параллельно оси y на величину ординаты. Такой порядок позволяет не спутать координаты и найти пересечение двух направлений, соответствующее точке.

Знаки чисел подсказывают направление движения. Положительную абсциссу откладывают вправо, отрицательную — влево; положительную ординату — вверх, отрицательную — вниз. Если одна координата равна нулю, по соответствующему направлению двигаться не нужно.

Чтобы прочитать координаты уже заданной точки, определите её смещение от начала по горизонтали, а затем по вертикали. Первое число запишите как абсциссу, второе — как ординату. У точек на оси x нет смещения по вертикали, поэтому их ордината равна нулю; у точек на оси y равна нулю абсцисса. В точке O оба смещения равны нулю, значит, её координаты — (0; 0).

Координаты точки на координатной плоскости

Пользуйтесь таблицей, чтобы не перепутать ось и соответствующую координату. При построении двигайтесь по координатам в указанном порядке, а при чтении точки определяйте сначала горизонтальное, затем вертикальное смещение. Нулевое значение у одной координаты показывает, что точка лежит на оси.

Разбор задач

Задача 1. На координатной плоскости дана точка A(3; 2). Укажите её абсциссу и ординату.

1. В записи координат первое число — абсцисса.
2. Второе число — ордината.
3. Считываем числа в заданном порядке: сначала 3, затем 2.

Ответ: абсцисса точки A равна 3, ордината равна 2.

Задача 2. Постройте точки B(−2; 4), C(3; −1) и D(0; −3) на координатной плоскости.

1. Для B от начала координат двигайтесь на 2 единицы влево, так как абсцисса отрицательная, затем на 4 единицы вверх. Отметьте конец движения.
2. Для C сначала пройдите 3 единицы вправо, затем 1 единицу вниз, поскольку ордината отрицательная.
3. Для D абсцисса равна нулю, поэтому двигайтесь только по оси y: на 3 единицы вниз. Поставьте точку на этой оси.

Ответ: точки B, C и D построены по указанным смещениям; D лежит на оси y.

Задача 3. Даны вершины треугольника A(−2; 1), B(3; 1) и C(1; 4). Постройте треугольник и найдите длину его стороны AB.

1. Постройте A: 2 единицы влево и 1 вверх. Постройте B: 3 единицы вправо и 1 вверх, а C: 1 единицу вправо и 4 вверх.
2. Соедините точки отрезками. У A и B одинаковая ордината 1, поэтому они лежат на одной горизонтали, параллельной оси x.
3. На этой горизонтали расстояние между точками определяется разностью абсцисс. Вычтите меньшую абсциссу из большей: 3 − (−2) = 5.

Ответ: длина стороны AB равна 5 единицам.

Типичные ошибки

Меняют местами абсциссу и ординату: например, читают (3; 2) как движение на 2 по горизонтали и на 3 по вертикали. Так происходит, если забыть порядок записи пары. Проверка: первое число должно относиться к оси x, второе — к оси y.

Откладывают координату по неверной оси, связывая первое число с вертикалью, а второе — с горизонталью. Причина обычно в том, что смотрят на направление движения, а не на обозначение оси. Перед построением полезно проговорить: сначала x по горизонтали, потом y по вертикали.

Не учитывают знак числа и откладывают отрицательную координату в положительном направлении. Такое случается, когда замечают величину числа, но пропускают знак минус. Проверьте направление: отрицательное значение по x ведёт влево, по y — вниз.

Считают, что у точки на оси обе координаты ненулевые. Но точка на оси x имеет нулевую ординату, а на оси y — нулевую абсциссу. Чтобы проверить себя, определите, по какой оси проходит точка: смещение от неё должно быть равно нулю.

Связь с другими темами

Для работы с координатами нужны знания о числовой прямой, положительных и отрицательных числах, начале отсчёта и единичном отрезке. Направления и единичный отрезок на каждой оси устроены так же, как на числовой прямой. Координаты применяют при построении и чтении графиков, описании геометрических фигур и нахождении расстояний между точками. Например, если у двух точек одинаковые ординаты, расстояние между ними можно найти по разности абсцисс.

Что запомнить

• Координатная плоскость задаётся двумя перпендикулярными осями с общим началом.
• Ось x обычно располагают горизонтально, ось y — вертикально.
• Координаты точки записывают в скобках в порядке (x; y).
• Первая координата точки — абсцисса, вторая — ордината.
• У точки на оси x ордината равна нулю.
• У точки на оси y абсцисса равна нулю.
• Координаты начала отсчёта — (0; 0).