Турнир 2. Самый взрослый взрослый

Определения и обозначения

Возраст — число полных лет человека. В задаче нужно смотреть, на какую дату он указан: возраст на день рождения и возраст за день до него могут различаться на год. Это помогает не смешивать сведения, относящиеся к разному времени.

Разность возрастов — число лет, на которое один человек старше другого. Если A старше B на 4 года, записывают: возраст A − возраст B = 4. Такая запись нужна, чтобы находить неизвестный возраст по известному и сохраняет смысл при сравнении людей.

Возрастное условие — сведения о возрасте людей или об отношениях между их возрастами. Например, задача может сообщать, сколько лет одному человеку, кто старше или какова сумма возрастов. Выделив такие сведения, проще понять, какие равенства составить и что именно требуется найти.

Самый взрослый — человек, чей возраст не меньше возраста каждого из остальных участников сравнения. Чтобы назвать его, недостаточно выяснить, что он старше одного человека: нужно проверить сравнение со всеми. Это определение помогает отличить доказанный ответ от догадки.

Как это устроено

Сначала выпиши имена всех участников задачи и рядом отметь известные возрасты. Затем подчеркни слова, которые связывают людей: «старше», «младше», «вместе», «в несколько раз». Так условия не потеряются в длинном тексте, а каждому сравнению будет понятно, к каким людям оно относится.

Сравнивать возраста удобно через разность, потому что она показывает точный промежуток между ними. Если известен возраст B и известно, что A старше B на 6 лет, возраст A равен возрасту B плюс 6. Если известен A, то возраст B получают вычитанием 6; одна и та же разность работает в обоих направлениях.

Слова задачи нужно переводить в подходящие равенства. «A старше B на 3 года» означает возраст A − возраст B = 3, а «A младше B на 3 года» — возраст B − возраст A = 3. «В k раз старше» описывает отношение, а не разность: возраст A = k · возраст B; выражение «вместе n лет» означает сумму возрастов n.

Чтобы выстроить людей по возрасту, записывай сравнения стрелками или последовательно соединяй равенства. Если A старше B, а B старше C, то A старше C: это следует из того, что обе разности идут в одном направлении. После построения цепочки сверь каждое исходное условие с записью, чтобы не пропустить отдельную пару или перепутать направление сравнения.

Иногда прямого сравнения между некоторыми людьми нет, но цепочка через других участников позволяет его получить. Например, сведения «A старше B» и «B старше C» показывают, что A старше C. Если цепочки приводят к противоположным выводам, например A оказывается и старше, и младше B, сравнения несогласованы; если цепочки не связывают всех, выбрать самого взрослого может быть невозможно.

Как записывать и использовать сведения о возрастах

Сначала найди в условии слова, соответствующие строке таблицы, и запиши равенство. Затем используй известное число, чтобы вычислить неизвестное или сравнить возраста. Не смешивай сложение, разность и умножение: они отвечают на разные формулировки.

Разбор задач

Задача 1. Возраст Анны на 4 года больше возраста Бориса, а Борис на 2 года старше Веры. Кто из троих самый взрослый и на сколько лет? Здесь важно связать оба сравнения: Анна старше Бориса, а Борис старше Веры. Обозначим возраста буквами А, Б и В.

1. Запишем первое условие: А − Б = 4, значит, Анна старше Бориса на 4 года.
2. Второе условие даёт Б − В = 2. Борис старше Веры на 2 года.
3. Сложим разности: А − В = 4 + 2 = 6. Получается цепочка Анна старше Бориса, Борис старше Веры, поэтому Анна старше Веры.

Ответ: Анна самая взрослая; она старше Бориса на 4 года и Веры на 6 лет. Точный возраст никого из троих найти нельзя, потому что в условии не дан ни один возраст.

Задача 2. Сумма возрастов двух взрослых равна 86 годам, один старше другого на 12 лет. Нужно найти оба возраста. Удобно выразить возраст старшего через возраст младшего, а затем использовать сумму. Обозначим возраст младшего через x, тогда старшему x + 12 лет.

1. Запишем сумму: x + (x + 12) = 86.
2. Уберём скобки и найдём два одинаковых слагаемых: 2x + 12 = 86, значит, 2x = 74 и x = 37.
3. Старшему 37 + 12 = 49 лет. Проверим: 37 + 49 = 86, а 49 − 37 = 12.

Ответ: младшему 37 лет, старшему 49 лет. Проверка подтверждает и сумму, и разность.

Задача 3. Условие сообщает о четырёх взрослых несколько попарных сравнений, но не приводит конкретные сравнения и числа. Поэтому покажем метод на примере: пусть A старше B на 3 года, C старше B на 5 лет, а C старше D на 2 года. Нужно определить самого взрослого и выяснить, можно ли узнать точный возраст.

1. Запишем сведения: А − Б = 3, В − Б = 5, В − Д = 2.
2. Сравним A и C относительно одного человека B: C старше B на 5 лет, а A — на 3 года, значит, C старше A на 2 года. Также C старше B и D.
3. Проверим, достаточно ли данных для возраста C. Ни один возраст не задан, поэтому можно прибавить одно и то же число к возрастам всех участников, не меняя разностей; точное значение C не определяется.

Ответ: в приведённом примере C — самый взрослый, но его точный возраст установить нельзя. В исходной формулировке без самих сравнений нельзя назвать конкретного человека: нужно записать все данные задачи и проверить, охватывает ли цепочка всех участников.

Типичные ошибки

Путать «старше на несколько лет» и «старше в несколько раз» — значит принять разность за отношение. Это происходит из-за похожих слов, хотя «на 4 года» задаёт вычитание, а «в 4 раза» — умножение. Проверь запись: в первом случае разность равна числу лет, во втором один возраст делится на другой.

Считать, что разность возрастов меняется каждый год, неверно: оба человека за год становятся старше на год. Ошибка возникает, если рассматривать только возраст одного человека. Для проверки прибавь одинаковое число лет к обоим возрастам и вычти их снова: результат не изменится.

Складывать или вычитать числа из условия без проверки даты и участников опасно. Возрасты могли быть указаны для разных дат или относиться к разным парам людей, поэтому действие не даст нужного ответа. Перед вычислением подпиши числа именами и датами и проверь, что равенство описывает нужных людей.

Называть самого взрослого по одному сравнению нельзя: оно может ничего не сообщать о других участниках. Такую поспешность вызывают первые найденные сведения, которые кажутся достаточными. Составь цепочку для всех людей и проверь, что выбранный человек не младше ни одного из них.

Связь с другими темами

Для таких задач нужно уметь извлекать числа и отношения из текста, сравнивать натуральные числа, складывать и вычитать. Перевод словесных условий в равенства пригодится в задачах на отношения величин и при решении простых уравнений. Упорядочивание сравнений развивает логическое мышление, а запись данных в таблицу помогает проверять, хватает ли сведений для ответа.

Что запомнить

• «Старше на k лет» означает разность возрастов k.
• Разность возрастов двух людей не меняется со временем.
• Возрастные условия полезно записывать равенствами или схемой.
• Цепочку сравнений можно использовать, даже если некоторые люди напрямую не сравниваются.
• Ответ нужно проверить по всем условиям задачи.
• Если данные не позволяют выбрать одного человека, это нужно отметить, а не угадывать.