2.1. Многозначные числа. Разряды и классы

Определения и обозначения

Многозначное число — число, в записи которого больше одной цифры. Например, 8 — однозначное число, а 18 — многозначное. Это различие помогает понять, сколько знаков потребуется для записи числа, но само по себе не говорит, какое количество оно обозначает.

Цифра — знак, которым записывают число. В десятичной системе используют десять цифр: от 0 до 9. Из этих знаков составляют и маленькие, и очень большие числа, поэтому нужно учитывать не только саму цифру, но и её место.

Разряд — место цифры в записи числа, определяющее её значение. Справа налево идут разряды единиц, десятков, сотен, единиц тысяч, десятков тысяч и сотен тысяч. Название разряда показывает, сколько единиц этого порядка обозначает цифра, и помогает не путать, например, 3 единицы с 3 сотнями.

Класс — группа из трёх соседних разрядов, которую отсчитывают справа налево. Первые три разряда составляют класс единиц, следующие три — класс тысяч, затем идут классы миллионов и миллиардов. Классы упорядочивают запись и позволяют удобнее читать длинные числа.

Как это устроено

Десятичная запись устроена так, что при движении влево каждый следующий разряд содержит десять единиц предыдущего. Десять единиц образуют один десяток, десять десятков — одну сотню, а десять сотен — одну тысячу. Поэтому одинаковый переход между соседними разрядами повторяется и дальше: десять тысяч составляют один десяток тысяч. Это правило позволяет записывать большие количества с помощью одних и тех же десяти цифр.

Цифра показывает количество единиц того разряда, в котором она стоит. Например, 4 в разряде единиц означает четыре единицы, в разряде десятков — четыре десятка, то есть 40, а в разряде сотен — четыре сотни, то есть 400. Если смотреть только на цифру, эти количества легко перепутать. Поэтому при чтении записи нужно определять и цифру, и её позицию.

Разряды объединяют по три, начиная с самого правого: первые три образуют класс единиц, следующие три — класс тысяч, затем класс миллионов. Так длинное число можно мысленно разделить на короткие группы, с которыми проще работать. Например, запись 306 040 разделяется на группы 306 и 040. Каждая группа, кроме крайней правой, читается вместе с названием своего класса.

При записи числа каждому разряду отводится своё место. Если в каком-то разряде нет единиц, на его позиции ставят 0, иначе соседние цифры сдвинутся и обозначат другое количество. Например, в числе сорок две тысячи семь есть 42 тысячи и 7 единиц, но нет сотен, десятков тысяч и сотен. Поэтому записывают 42 007, а не 427: нули удерживают цифру 7 в разряде единиц.

Читают число по классам справа налево, но называют их от старшего к младшему. В каждом классе определяют, сколько в нём единиц, и произносят это число; для классов тысяч, миллионов и далее добавляют название класса. Класс единиц читают без названия: например, 42 007 — «сорок две тысячи семь». Если в классе стоят только нули, его при чтении пропускают, потому что он не добавляет количества.

Разряды и классы многозначного числа

Чтобы найти разряд цифры, считай позиции справа налево: единицы, десятки, сотни и далее. Чтобы определить класс, раздели запись на группы по три цифры, также начиная справа. Нули внутри группы не пропускай: они сохраняют места разрядов.

Разбор задач

Прочитать число 583

В записи 583 всего три цифры, поэтому все они относятся к классу единиц. Чтобы прочитать число уверенно, сначала установим разряд каждой цифры. Затем соединим количество сотен, десятков и единиц в привычное название числа.

1. Крайняя справа цифра 3 стоит в разряде единиц.
2. Цифра 8 стоит в разряде десятков и обозначает 8 десятков, то есть 80.
3. Цифра 5 стоит в разряде сотен и обозначает 5 сотен, то есть 500.
4. Соединяем разрядные количества: 500 + 80 + 3.

Ответ: пятьсот восемьдесят три. Разрядный состав числа — 5 сотен, 8 десятков и 3 единицы.

Записать число «сорок две тысячи семь» и указать разряд каждой цифры

Слова «сорок две тысячи» задают класс тысяч, а слово «семь» — класс единиц. Между этими частями нет сотен и десятков, поэтому их места нужно сохранить нулями. Сгруппируем будущую запись на класс тысяч и класс единиц, в каждом из которых должно быть по три позиции.

1. Сорок две тысячи записываем как 42 в классе тысяч.
2. В классе единиц число семь занимает разряд единиц; сотен и десятков нет, поэтому записываем группу 007.
3. Объединяем классы пробелом: получаем 42 007.
4. Цифра 4 стоит в разряде десятков тысяч, 2 — в разряде единиц тысяч, 0 — в разрядах сотен и десятков, 7 — в разряде единиц.

Ответ: 42 007. Нули в записи необходимы: без них цифра 7 оказалась бы не в разряде единиц.

В числе 306 040 определить значение цифры 6, прочитать число и представить его как сумму разрядных слагаемых

Сначала отделим классы: 306 | 040. Цифра 6 находится в группе тысяч, но нужно определить её точный разряд внутри этой группы. Затем прочитаем ненулевые классы и разложим число, учитывая только разряды, в которых стоят ненулевые цифры.

1. В классе тысяч цифра 6 занимает разряд единиц тысяч, поэтому её значение равно 6 000.
2. Группа 306 читается «триста шесть тысяч», а группа 040 — «сорок»; вместе получаем «триста шесть тысяч сорок».
3. Разряды с ненулевыми цифрами дают 3 сотни тысяч, 6 единиц тысяч и 4 десятка.
4. Записываем сумму: 306 040 = 300 000 + 6 000 + 40.

Ответ: цифра 6 обозначает 6 000; число читается «триста шесть тысяч сорок», а его разложение — 300 000 + 6 000 + 40.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что значение цифры задаёт только её внешний вид. Так думают, когда забывают о разрядах: цифра 6 может обозначать 6, 60, 600 или другое количество. Проверяй, сколько позиций справа занимает цифра, и называй её разряд.

Ошибка: делить число на классы, начиная слева. Так бывает, если воспринимать запись как ряд равных групп, хотя неполной может быть только крайняя левая группа. Отсчитывай по три цифры справа налево и проверь, что крайняя правая группа относится к классу единиц.

Ошибка: убирать нули, которые кажутся ненужными. Ноль в записи числа может удерживать место десятков, сотен или целого класса, и без него остальные цифры смещаются. Сверь каждую позицию с названием числа: например, 42 007 должно содержать цифру 7 именно в разряде единиц.

Ошибка: при чтении произносить название класса единиц или называть класс, не сказав его количество. Это происходит, когда ученик перечисляет названия групп вместо чтения числа. Читай число каждого ненулевого класса вместе с его названием, а для класса единиц оставляй только число: «сорок две тысячи семь».

Связь с другими темами

Перед изучением разрядов и классов нужно знать цифры, натуральные числа и порядок их записи. Эти знания помогают понять, как из отдельных знаков получается запись количества. Разрядный состав нужен при сравнении чисел: сначала можно сопоставить старшие разряды. Он также помогает читать и записывать большие числа и выполнять арифметические действия, не теряя значения цифр и нулей.

Что запомнить

• В десятичной записи используют цифры от 0 до 9.
• Значение цифры определяется её разрядом.
• При движении справа налево каждый разряд в десять раз больше предыдущего.
• Три соседних разряда образуют класс.
• Классы считают справа налево, начиная с класса единиц.
• Нули сохраняют место отсутствующих разрядных единиц.
• Число читают по классам, называя количество единиц каждого класса.