2.3. Отношения «больше», «меньше»

Определения и обозначения

Отношение «больше» показывает, что первое из сравниваемых чисел или величин превосходит второе. Его записывают знаком >: например, 9 > 4 означает, что девять больше четырёх. Такая запись помогает коротко обозначить порядок чисел и понять, какое из них занимает более высокое место.

Отношение «меньше» показывает, что первое число или величина уступает второму. Его записывают знаком <: например, 4 < 9 читается «четыре меньше девяти». Это обозначение удобно, когда нужно показать, какое число меньше, не описывая сравнение словами.

Знаки > и < читают соответственно «больше» и «меньше», двигаясь в записи слева направо. У каждого знака есть широкая часть и остриё: широкая часть обращена к большему числу, остриё — к меньшему. Например, запись 12 > 5 верна, потому что открытая часть знака направлена к 12.

Сравнение нужно, чтобы упорядочивать числа и выражения, проверять, какое из них имеет большую или меньшую величину. Чтобы не перепутать знак, можно сначала произнести сравнение словами, а затем выбрать обозначение. Например, если первое число больше второго, между ними ставят >.

Как это устроено

Числа на числовом луче располагаются в порядке возрастания слева направо. Поэтому, сравнивая две отметки, достаточно посмотреть, какая находится правее: она соответствует большему числу. Отметка левее соответствует меньшему, поскольку до неё на луче проходит меньше единичных отрезков от начала отсчёта.

Если числа не изображены на луче, их можно сравнить по составу и разрядам. У натуральных чисел с разным количеством цифр больше то, в котором цифр больше: например, 100 больше 99. Если цифр поровну, сначала сравнивают самые старшие разряды слева; к следующему переходят только при равенстве предыдущих, потому что разряд слева задаёт больший вклад в число.

После сравнения выбери знак так, чтобы широкая часть смотрела на большее число. Если 8 больше 3, запись будет 8 > 3; если записать числа в обратном порядке, получится 3 < 8. Это удобно проверять чтением слева направо: запись должна звучать как верное утверждение.

Одно и то же сравнение можно выразить двумя способами: если a > b, то b < a. При перестановке чисел меняется и знак, иначе получилась бы запись о противоположном порядке. Например, из 10 > 6 следует 6 < 10: числа те же, но теперь первым указано меньшее.

Если a > b и b > c, то a > c. На числовом луче a находится правее b, а b — правее c, поэтому a оказывается правее c. Так можно сравнить крайние числа, даже если их не сравнивали напрямую; тот же вывод верен для величин, если первая больше второй, а вторая больше третьей.

Отношения «больше» и «меньше»

Сначала найди в таблице словами описанное сравнение, затем посмотри на соответствующую запись и направление на луче. Последняя строка показывает, что при перестановке чисел отношение меняется на обратное, но сами числа сохраняют прежний порядок.

Разбор задач

Сравните 4 и 9 и запишите ответ с помощью знака.

Чтобы выбрать знак, выясним, какое число больше. Числа можно представить на числовом луче: правее расположено большее. Затем поставим числа в исходном порядке и направим к большему широкую часть знака.

1. На луче отметка 9 находится правее отметки 4.
2. Значит, 4 меньше 9, поэтому между числами нужен знак <.

Ответ: 4 < 9.

Сравните 352 и 325, обоснуйте ответ и запишите обратное сравнение.

У обоих чисел одинаковое количество цифр, поэтому сравниваем их слева направо. Сотни равны, а в разряде десятков уже появляется различие. После этого можно определить знак, а для обратной записи поменять числа местами и заменить знак на противоположный.

1. Сравним цифры сотен: 3 и 3 равны.
2. Сравним цифры десятков: 5 больше 2, значит, 352 больше 325.
3. Запишем обратное сравнение, переставив числа и заменив > на <.

Ответ: 352 > 325; обратное сравнение — 325 < 352.

Известно, что 18 > 12 и 12 > 7. Сравните 18 и 7 и объясните вывод.

Число 18 больше 12, а 12 больше 7. Значит, при движении по числовому лучу от 7 к 12, а затем к 18 мы всё время перемещаемся вправо. Поэтому 18 расположено правее 7 и больше него.

1. Из 18 > 12 следует, что 18 находится правее 12.
2. Из 12 > 7 следует, что 12 находится правее 7.
3. Следовательно, 18 находится правее 7, то есть 18 > 7.

Ответ: 18 > 7.

Типичные ошибки

Можно перепутать направление знака, если смотреть только на остриё. Такая ошибка возникает потому, что знак похож на стрелку; однако его широкая часть обращена к большему числу. Проверь запись чтением: в 6 < 10 должно получиться «шесть меньше десяти».

При сравнении многозначных чисел иногда смотрят на последние цифры. Это неверно, потому что значение цифры зависит от её разряда, а старшие разряды определяют число сильнее. Начинай слева и переходи к следующей цифре только при равенстве предыдущих; например, в 352 и 325 решают цифры десятков.

После перестановки чисел некоторые оставляют прежний знак. Тогда утверждение меняет смысл и может стать неверным: из 8 > 3 не следует 3 > 8. Чтобы проверить себя, произнеси сравнение словами и при перестановке замени знак на противоположный.

Иногда кажется, что из двух сравнений нельзя узнать отношение крайних чисел. Но если a > b и b > c, то a > c: на луче a правее b, а b правее c. Проверь вывод расположением трёх чисел или цепочкой: переходы всё время идут в одном направлении.

Связь с другими темами

Для сравнения полезно уметь считать, различать числа и ориентироваться на числовом луче. Счёт помогает понять порядок чисел, а луч показывает этот порядок наглядно. Сравнение разрядов опирается на знание того, как устроена запись многозначного числа.

Умение сравнивать пригодится при упорядочивании чисел, когда нужно расположить их от меньшего к большему или наоборот. Оно также используется при решении неравенств и сравнении числовых выражений. В этих задачах важно правильно определить порядок величин и записать его знаком.

Что запомнить

• Знак > читают «больше», знак < — «меньше».
• Широкая часть знака обращена к большему числу.
• На числовом луче правее расположено большее число.
• Если a > b, то b < a.
• Если a > b и b > c, то a > c.
• Многозначные числа сравнивают начиная со старшего разряда.