2.4. Прямая и кривая линии. Луч

Определения и обозначения

Прямая линия — линия, которая не меняет направления и продолжается бесконечно в обе стороны. На рисунке её изображают ровной линией со стрелками на концах или подразумевают продолжение за край изображения. Прямую можно обозначать двумя точками, лежащими на ней, например прямой AB.

Кривая линия — линия, направление которой меняется. Замкнутая кривая образует границу без концов, как окружность, а незамкнутая имеет два конца, как дуга или волнистая линия. Это понятие помогает отличать линии, которые изгибаются, от ровных прямых.

Луч — часть прямой, которая имеет начало и продолжается бесконечно в одном направлении. Его обозначают двумя точками: первой записывают начало, второй — любую точку луча, например луч AB. Луч нужен, чтобы описывать направление от одной точки через другую.

Начало луча — точка, от которой луч продолжается в одном направлении. На рисунке её отмечают точкой на крайнем месте луча, а дальше линия уходит со стрелкой. Если луч проходит через A и B и начинается в A, его называют лучом AB.

Как это устроено

Прямая и кривая могут быть изображены только на ограниченном листе, хотя сами линии способны продолжаться дальше. Различие между ними определяется не длиной рисунка, а направлением: прямая всё время идёт ровно, а кривая изменяет путь. Поэтому короткая ровная линия на чертеже может быть частью бесконечной прямой, а длинная волнистая линия останется кривой.

Прямую изображают тонкой ровной линией, часто со стрелками на обоих концах. Стрелки подсказывают, что линия не заканчивается у края рисунка, а продолжается дальше в обе стороны. Две точки на прямой позволяют дать ей название, но не ограничивают её: прямая AB содержит и эти точки, и множество других.

Чтобы получить луч из прямой, выбирают на ней точку начала. Эта точка делит прямую на две части, и каждая часть вместе с началом становится лучом. Лучи имеют общее начало, но направлены в противоположные стороны, поэтому по одной точке можно получить сразу два луча.

Луч продолжается бесконечно только в одну сторону, потому что вторая сторона отсекается выбранной точкой начала. На рисунке начало находится там, где линия заканчивается точкой, а стрелка расположена дальше по направлению продолжения. Если у линии есть точки с двух сторон от отмеченной точки, это уже изображение прямой, а не одного луча.

На чертежах сначала определяют, есть ли у линии начало и стрелка продолжения. Ровная линия со стрелками в обе стороны — часть прямой, изгибающаяся линия — кривая, а ровная линия с одной отмеченной крайней точкой и продолжением в одну сторону — луч. В окружающем мире примерами прямых могут быть натянутая нить или край линейки, кривых — изгиб дороги или дуга, а луч удобно представить как направление света от фонаря.

Сравнение прямой линии, кривой линии и луча

Пользуясь таблицей, сначала проверьте, меняет ли линия направление. Затем найдите начало и посмотрите, есть ли продолжение в одну или в обе стороны.

Помните, что края изображения не являются настоящими концами бесконечных линий. Таблица помогает описывать геометрический объект, а не просто внешний вид его короткого изображения.

Разбор задач

Задача 1

Условие: Определи, какие из изображённых линий прямые, а какие кривые. Нужно учитывать направление линии, а не только длину нарисованной части.

1. Проведи взглядом по каждой линии от одного края к другому.
2. Если линия всё время сохраняет одно направление, назови её прямой.
3. Если линия где-либо изгибается или поворачивает, назови её кривой.

Ответ: линии без изменения направления — прямые, а линии с изменением направления — кривые. Ограниченная длина рисунка не превращает часть прямой в отрезок автоматически.

Задача 2

Условие: На рисунке проведена прямая через точку A. Покажи два луча, на которые она разделилась.

1. Найди точку A на прямой и используй её как общее начало.
2. Выбери первое направление от A по одну сторону прямой и представь луч, идущий туда.
3. От A проведи второй луч в противоположную сторону по той же прямой.

Ответ: прямая разделилась на два луча с общим началом A. Они направлены в противоположные стороны; названия можно записать как лучи AB и AC, если на соответствующих направлениях отмечены точки B и C.

Задача 3

Условие: Отметь точку B и изобрази луч, начинающийся в B и проходящий через точку C. Укажи, какая точка является началом луча.

1. Поставь точку B — именно от неё должен выходить луч.
2. Проведи через B и C ровную линию так, чтобы сначала на пути находилась B, а затем C.
3. Продолжи линию за точку C и поставь стрелку в этом направлении.

Ответ: получен луч BC. Его начало — точка B, а C — точка, через которую луч проходит; точка C не является концом.

Типичные ошибки

Иногда нарисованную часть принимают за всю прямую, потому что видят её границы на листе. Лист ограничен, а геометрическая прямая продолжается за его пределами. Проверяйте наличие стрелок или мысленно продлевайте линию в обе стороны.

Луч часто путают с отрезком, ведь оба объекта могут начинаться в одной точке. У отрезка есть второй конец, а луч после начальной точки не заканчивается. Проверьте, указано ли бесконечное продолжение стрелкой в одном направлении.

Точку, через которую проходит луч, иногда называют его концом. Это происходит потому, что на рисунке линия может казаться остановившейся возле этой точки. Название луча читайте слева направо: первая точка — начало, вторая только задаёт направление.

Неровно проведённую линию могут ошибочно назвать кривой. Причина ошибки — внимание к аккуратности рисунка вместо его геометрического смысла. Представьте идеальную линию: если направление не меняется, она прямая.

Связь с другими темами

Перед изучением этой темы нужно уметь распознавать точки и обозначать их буквами на чертеже. Буквы помогают называть прямые и лучи, а также точно описывать их взаимное расположение. Например, первая буква в названии луча показывает его начало.

Понятия прямой и луча понадобятся при изучении отрезка и угла. Отрезок можно рассматривать как часть прямой с двумя концами, а угол образуют два луча с общим началом. Эти объекты используются при построении геометрических фигур.

Что запомнить

• Прямая линия не меняет направления и продолжается бесконечно в обе стороны.
• Кривая линия меняет направление.
• Луч — часть прямой с началом.
• Луч продолжается бесконечно в одном направлении.
• У луча есть начало, но нет конца.
• На рисунке изображают только часть бесконечной прямой или луча.