"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Отрезки можно не только измерять, но и складывать или вычитать геометрически. Сумма — это отрезок, длина которого равна сумме длин исходных отрезков; разность имеет длину, равную их разности. Чтобы построить результат, используют луч и откладывают на нём заданные отрезки в нужном порядке. Главное — не путать сам отрезок с его длиной, следить за единицами измерения и при вычитании брать из большей длины меньшую или равную ей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками; эти точки называются его концами. Например, отрезок AB начинается в точке A и заканчивается в точке B. Сам отрезок — геометрическая фигура, которую можно начертить или построить. Это понятие нужно, чтобы точно описывать части прямой и работать с их размерами.
Длина отрезка — положительное число, показывающее, сколько единичных отрезков в нём содержится. Единичный отрезок — выбранный отрезок, длина которого принята за единицу измерения, например сантиметр. Длину измеряют линейкой или задают в условии. Она позволяет сравнивать отрезки и выполнять действия с их размерами.
Сумма отрезков — отрезок, длина которого равна сумме длин данных отрезков. Если длины двух отрезков равны 3 см и 5 см, длина их суммы равна 8 см. Сумма сама является отрезком, а число 8 см — его длиной. Это понятие помогает соединить несколько отрезков в один без промежутков.
Разность отрезков — отрезок, длина которого равна разности длин данных отрезков; она определена, если длина уменьшаемого не меньше длины вычитаемого. Например, при длинах 9 см и 4 см разность имеет длину 5 см. Из меньшей длины большую вычитать нельзя, поскольку длина отрезка не бывает отрицательной. Разность показывает, на сколько один отрезок длиннее другого.
Чтобы сложить отрезки геометрически, на луче откладывают сначала один отрезок, затем от его конца — второй; полученный отрезок имеет длину, равную сумме исходных. Луч удобен тем, что у него есть начало и одно направление, поэтому точки можно располагать последовательно. Конец первого отрезка становится началом второго, и между ними не возникает ни промежутка, ни наложения. В результате весь путь от начала луча до конечной точки состоит из двух частей, а его длина равна сумме длин этих частей.
Такое построение возможно благодаря свойству откладывания отрезка заданной длины на луче: от его начала можно отложить отрезок, равный данному. Это значит, что для каждого заданного размера можно найти на луче точку, отстоящую от начала на нужную длину. Например, если надо отложить 3 см, линейкой отмечают точку на расстоянии 3 см от начала. Поэтому отрезки можно переносить на луч, даже если исходные фигуры нарисованы в другом месте.
Чтобы построить разность, на луче откладывают больший отрезок, а от его начала — меньший; оставшаяся часть имеет длину, равную разности. Начало у обоих отрезков общее, поэтому их концы показывают, где заканчиваются соответствующие длины. Конец меньшего отрезка лежит раньше конца большего, а промежуток между этими концами и есть искомая часть. Так видно не только значение разности, но и то, почему сначала нужно выбрать больший отрезок.
Если известны длины отрезков, сложение и вычитание сводятся к действиям с числами, выражающими эти длины. Например, для длин 3 см и 5 см достаточно вычислить 3 + 5, а для длин 9 см и 4 см — 9 − 4. Перед вычислением нужно привести величины к одной единице: сантиметры можно складывать с сантиметрами, миллиметры — с миллиметрами. Геометрическое построение показывает, какой отрезок соответствует полученному числу.
При записи результата важно различать сам отрезок и его длину: равенство длин записывают для чисел, а не смешивают с обозначением отрезка. Например, AB и CD — названия отрезков, а запись «длина AB равна 4 см» сообщает числовую характеристику фигуры. Если обозначение длины уже принято, например AB = 4 см, справа всё равно указывают число с единицей измерения. Это помогает понять, идёт ли речь о фигуре или о её размере.
Используй таблицу как памятку: сначала выбери действие, затем проверь способ построения и условие. Числовую длину результата находи по соответствующей формуле в третьем столбце. Обозначения помогают отличить отрезки от их длин.
| Действие | Как построить | Длина результата | Условие |
|---|---|---|---|
| Сложение | Второй отрезок отложить от конца первого. | Сумма длин исходных отрезков. | Длины выражены в одинаковых единицах. |
| Вычитание | Оба отрезка отложить от общего начала, сначала больший. | Длина большего минус длина меньшего. | Уменьшаемое не меньше вычитаемого. |
| Обозначение исходных отрезков | Записать две заглавные буквы концов, например AB. | Это обозначение фигуры, а не числовой результат. | У каждой точки есть своё название. |
| Обозначение их длин | Указать число и единицу измерения, например 4 см. | Длина — положительное число с единицей. | Для вычислений единицы должны совпадать. |
Задача 1. Отрезки AB и CD имеют длины 3 см и 5 см. Найдите длину отрезка, равного их сумме. Нужно найти не новый чертёж, а числовую длину результата, поэтому используем сложение длин. Единицы измерения уже одинаковые.
Ответ: длина суммы равна 8 см. Проверка: полученная длина больше каждой из исходных, что соответствует сложению двух отрезков.
Задача 2. Постройте на луче отрезок длиной 7 см, равный сумме отрезков длиной 2 см и 5 см. Для суммы нужно расположить части подряд, чтобы длина всего отрезка включала обе длины. Отметим начало луча точкой O и будем откладывать от неё в одном направлении. После построения проверим общую длину.
Ответ: искомый отрезок OB имеет длину 7 см. Вторую часть откладывали от точки A, а не от начала O, чтобы части шли одна за другой и образовали общую длину.
Задача 3. Отрезок MN имеет длину 9 см, отрезок PQ — 4 см. Постройте разность этих отрезков и найдите её длину. Сначала определим, какая длина больше: вычитание возможно, потому что 9 см больше 4 см. Для построения нужно расположить оба отрезка от одной точки, тогда оставшаяся часть покажет разность.
Ответ: длина разности равна 5 см. На построении это расстояние от конца меньшего отрезка до конца большего, а не участок от общего начала.
Первая ошибка — складывать или вычитать величины с разными единицами, например сантиметры и миллиметры, не переводя их. Так можно получить неверное число, потому что единица в записи будет относиться к частям разного размера. Перед действием переведи все длины в одну единицу и проверь, что она указана в ответе.
При построении суммы иногда второй отрезок откладывают не от конца первого, а снова от начала луча. Тогда отрезки накладываются или располагаются отдельно, поэтому общий отрезок не содержит обе длины подряд. Проверь построение: конец первого отрезка должен совпасть с началом второго, а сумма должна быть не короче каждой части.
При построении разности можно ошибочно отложить меньший отрезок от конца большего. В таком случае оставшаяся часть не показывает разницу двух длин от общего начала. Для проверки отметь начало обоих отрезков в одной точке: разность должна находиться между их концами.
Некоторые вычитают большую длину из меньшей и получают отрицательное число, хотя длина отрезка не может быть отрицательной. Ошибка возникает, если забыть, что в разности уменьшаемое должно быть не меньше вычитаемого. Сравни длины до вычисления; если нужно найти разность, вычитай меньшую длину из большей или равной ей.
Для работы с отрезками нужно знать, что такое отрезок, луч, длина и единичный отрезок. Эти понятия помогают выбрать место построения, измерить фигуру и понять, с чем именно выполняется действие. Без единицы измерения длину нельзя записать числом.
Тема опирается на сложение и вычитание чисел и умение измерять длины линейкой. Числовые действия дают длину результата, а линейка помогает отложить нужный размер на луче. Если единицы измерения различаются, сначала их приводят к одной.
Сложение и вычитание отрезков пригодятся при построении геометрических фигур и решении задач на длины. Можно находить общую длину сторон или сравнивать части фигуры, не измеряя каждый раз весь результат напрямую. Построение помогает представить, как связаны отдельные отрезки.
Чем отрезок отличается от его длины?
Отрезок — геометрическая фигура с двумя концами, а его длина — положительное число, которое показывает размер этой фигуры. Например, AB обозначает отрезок, а запись AB = 4 см обычно используют для его длины.
Как построить отрезок, равный сумме двух данных отрезков?
Выбери луч и от его начала отложи первый отрезок. От его конца в том же направлении отложи второй; отрезок от начала луча до конца второго отрезка будет суммой.
Почему при построении суммы второй отрезок откладывают от конца первого?
Так отрезки располагаются последовательно, без промежутка и наложения. Поэтому длина всего полученного отрезка складывается из длины первой и длины второй части.
Как построить разность двух отрезков?
На луче от общего начала отложи сначала больший отрезок, затем меньший. Часть большего отрезка, которая остаётся за концом меньшего, и есть разность.
Можно ли вычесть длину большего отрезка из длины меньшего?
В рамках этой темы разность определена, только если уменьшаемое не меньше вычитаемого. Поэтому длину меньшего отрезка из длины большего вычитать нельзя: длина результата не бывает отрицательной.
3.13. Сложение и вычитание отрезков
