3.57. Решение задач

Определения и обозначения

Текстовая задача — описание жизненной или учебной ситуации, в которой известны одни величины, неизвестны другие и требуется установить между ними связь. Например, можно узнать, сколько предметов осталось после того, как часть использовали. Такое описание превращает жизненный вопрос в задачу, которую можно решить с помощью вычислений или уравнения. Чтобы не запутаться, нужно сначала понять, о каких величинах говорится.

Условие задачи — известные данные и отношения между величинами, необходимые для решения. Данные могут быть числами с единицами измерения, а отношения — например, указанием на сумму, разность или одинаковую скорость. В условии важно замечать не только сами числа, но и то, к чему каждое из них относится. Это помогает не соединять данные, которые описывают разные величины.

Вопрос задачи — то, что требуется найти или определить; он задаёт цель решения. Вопрос помогает понять, какой результат нужен и к какой величине он относится. Например, если спрашивают, сколько фруктов осталось, недостаточно найти только количество привезённых фруктов. В конце нужно вернуться к вопросу и записать ответ именно в требуемой форме.

План решения — последовательность действий, ведущих от данных условия к ответу. В плане указывают, что найти сначала и как полученный результат поможет выполнить следующие шаги. Он нужен, чтобы не делать вычисления наугад и не пропустить промежуточную величину. Если каждое действие объяснено, решение легче проверить и исправить.

Как это устроено

Начните с выделения известных и неизвестных величин. Назовите каждую величину и рядом укажите её значение и единицу измерения: например, расстояние — 210 км, время — 3 ч. Это нужно потому, что одинаковые числа могут относиться к разным предметам или действиям, а названия показывают их роль. Затем прочитайте вопрос и отметьте, какая именно величина неизвестна.

Не выбирайте действие только по отдельному слову из условия. Слова «больше», «меньше» или «всего» могут описывать разные отношения, поэтому сначала выясните, что именно сравнивается или объединяется. Например, чтобы найти остаток, нужно знать общее количество и сколько израсходовали; одно слово в тексте не заменит понимания этой связи. Когда смысл отношений ясен, становится понятно, какое действие приведёт к нужной величине.

Представьте условие краткой записью, схемой, таблицей или чертежом. В краткой записи удобно перечислить величины и их значения, а в схеме — показать части и целое или порядок событий. Такой способ делает связи заметными и помогает сравнить данные, которые в тексте разбросаны по разным предложениям. Выбирайте представление по ситуации: таблица подходит для сопоставления нескольких случаев, схема — для отношений между частями.

Чтобы составить план, спросите себя, какую величину можно найти по данным условия, а затем — что понадобится для следующего действия. Первое действие должно быть выполнимо сразу или давать промежуточное значение, без которого нельзя продолжить. Например, для нахождения пути за новое время сначала требуется узнать скорость. Объяснение смысла каждого шага помогает убедиться, что план действительно ведёт к ответу.

После вычислений вернитесь к вопросу задачи и проверьте результат. Сверьте единицы измерения: если искали длину, ответ не может быть выражен в часах. Оцените число по смыслу и сравните его с данными: остаток не должен превышать исходное количество. Проверьте вычисления повторно или другим способом, если он доступен, а затем запишите ответ так, чтобы было ясно, что именно найдено.

Этапы решения текстовой задачи

Таблица помогает пройти решение последовательно: от понимания условия к обоснованному ответу. Используйте вопросы из третьего столбца как подсказки и переходите дальше, когда результат текущего этапа понятен. Если на каком-то шаге возникает затруднение, вернитесь к условию и проверьте, верно ли выделены данные и связи.

Разбор задач

В школьную столовую привезли 48 кг яблок и 36 кг груш. За день израсходовали 57 кг фруктов. Сколько килограммов фруктов осталось? Известны количества яблок и груш, а вопрос касается общего остатка. Поэтому нельзя сразу вычитать 57 из одного из чисел: сначала нужно объединить фрукты и найти их общее количество.

1. Найдём, сколько всего фруктов привезли: 48 + 36 = 84 (кг). Сложение подходит, потому что яблоки и груши вместе составляют все привезённые фрукты.
2. Вычтем из общего количества то, что израсходовали: 84 − 57 = 27 (кг). Это действие находит остаток после использования части общего количества.

Оба действия связаны с вопросом: первое даёт целое количество, а второе — оставшуюся часть. Проверим смысл: из 84 кг израсходовали 57 кг, значит, остаток меньше исходного количества. Ответ: в столовой осталось 27 кг фруктов.

За 3 часа автомобиль проехал 210 км. Сколько километров он проедет за 5 часов с той же скоростью? Известны расстояние и время для первой поездки, но для нового времени расстояние пока неизвестно. Слова «с той же скоростью» показывают, что сначала нужно найти расстояние, которое автомобиль проходит за один час, а затем определить путь за 5 часов.

1. Найдём скорость: 210 : 3 = 70 (км/ч). Деление показывает, сколько километров приходится на один час равномерного движения.
2. Найдём путь за 5 часов: 70 × 5 = 350 (км). Умножение нужно, потому что за каждый час автомобиль проходит по 70 км.

Промежуточная величина — скорость — необходима, чтобы перейти от данных о первой поездке к новому времени. Проверим: за 5 часов при той же скорости путь должен быть больше, чем за 3 часа, и 350 км больше 210 км. Ответ: за 5 часов автомобиль проедет 350 км.

В двух коробках 74 карандаша. В первой коробке на 12 карандашей больше, чем во второй. Сколько карандашей в каждой коробке? Здесь нужно найти две неизвестные величины, связанные суммой и разностью. Удобно выразить количество в первой коробке через количество во второй и составить уравнение.

1. Обозначим через x количество карандашей во второй коробке. Тогда в первой коробке x + 12 карандашей, потому что там на 12 больше.
2. Запишем сумму: x + (x + 12) = 74. Решим уравнение: 2x + 12 = 74, 2x = 62, x = 31.
3. Найдём количество в первой коробке: 31 + 12 = 43. Проверим сумму: 31 + 43 = 74, а разность: 43 − 31 = 12.

Проверка подтверждает обе связи из условия, а значения выражены в карандашах. Ответ: во второй коробке 31 карандаш, в первой — 43 карандаша. Уравнение оказалось удобным, потому что неизвестные количества можно связать через одну переменную.

Типичные ошибки

Иногда действие выбирают по отдельным словам «больше», «меньше» или «всего», не разобрав отношения между величинами. Так ошибаются, потому что слово кажется готовой подсказкой, хотя оно не всегда прямо указывает на нужное действие. Составьте схему или назовите величины и объясните, что именно требуется объединить, сравнить или найти. Если объяснение действия не связано с вопросом, выбор нужно пересмотреть.

Другая ошибка — пытаться сразу получить ответ, пропуская промежуточную величину. Это случается, когда решающий замечает вопрос, но не строит цепочку связей между данными и неизвестным. Проверьте, можно ли выполнить выбранное действие, используя только известные значения. Если для него пока не хватает данных, найдите сначала необходимую промежуточную величину.

Иногда записывают число без единицы измерения или отвечают не на тот вопрос. Причина в том, что после вычислений внимание сосредоточено на результате, а формулировку задачи забывают перечитать. Сверьте название найденной величины с вопросом и добавьте подходящую единицу: например, километры или карандаши. Ответ должен быть понятен без догадок о том, что означает число.

Если не проверять разумность ответа и вычисления, незамеченная ошибка может сохраниться в решении. Часто считают, что раз действия выполнены, то результат уже верен, хотя число может противоречить условию. Сравните ответ с исходными данными и оцените, должен ли он быть больше или меньше них. Затем повторите вычисления или проверьте решение обратным действием.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны знания о смысле сложения, вычитания, умножения и деления, а также о порядке действий. Единицы измерения помогают правильно записывать величины и замечать ошибки в ответе. Краткая запись строится на умении обозначать данные и отношения между ними. Эти навыки создают основу для осмысленного выбора действий.

Во многих задачах используются пропорции и зависимости между величинами, например связь пути, скорости и времени. Такие отношения позволяют находить неизвестное по известным данным. Если величины связаны условием, которое удобно записать через переменную, применяют уравнения. Значит, решение текстовых задач объединяет вычисления и математические модели.

Этот способ работы пригодится в задачах на движение, работу, проценты, дроби и геометрию. Во всех этих темах нужно выделить величины, понять отношения и выбрать подходящий план. Умение переводить условие в схему, выражение или уравнение помогает не только получить ответ, но и объяснить, почему он верен. Поэтому навык анализа задач используется во многих разделах математики.

Что запомнить

• Сначала нужно понять условие, а не сразу выполнять вычисления.
• Неизвестное и вопрос задачи определяют цель решения.
• Каждое действие должно иметь смысл и опираться на данные условия.
• Краткая запись или схема помогает увидеть связи между величинами.
• Ответ записывают с единицей измерения и в форме, соответствующей вопросу.
• Решение необходимо проверить по смыслу, вычислениям и единицам.