"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Текстовая задача описывает жизненную ситуацию, в которой известны одни величины, а другую нужно найти. Чтобы решить её, недостаточно выбрать действие по отдельному слову: нужно понять, как связаны данные и искомое. Удобная схема работы — разобрать условие, представить связь величин, составить план, выполнить вычисления, проверить результат и записать ответ. Такой порядок помогает не терять смысл решения и пригодится в задачах на движение, покупки и другие зависимости.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Текстовая задача — описание жизненной ситуации с известными и неизвестными величинами, между которыми установлены связи. Например, известны число коробок и общее количество карандашей, а количество в одной коробке предстоит найти. Это понятие помогает увидеть в рассказе не просто набор чисел, а математическую ситуацию, которую можно исследовать.
Условие задачи — сведения об известных величинах и отношениях между ними. В задаче о коробках условие сообщает общее число карандашей и то, что коробки одинаковые. Выделяя условие, мы отделяем данные, которыми можно пользоваться, от вопроса, на который ещё предстоит ответить.
Требование задачи — вопрос, на который нужно получить ответ. Оно может просить найти одну величину или несколько связанных величин. Если сформулировать требование своими словами, проще понять, какие именно вычисления нужны и какую единицу измерения поставить в ответе.
Решение задачи — последовательность рассуждений и действий, приводящих от условия к ответу. В нём объясняют, почему выполняют выбранные действия, а не только записывают вычисления. Такое решение позволяет проверить ход мысли и увидеть, как данные условия приводят к искомому результату.
Сначала выдели известные и неизвестные величины, определи, что требуется найти, и запиши единицы измерения. Это нужно потому, что числа сами по себе не объясняют, какую роль играют в задаче: 12 может обозначать километры, предметы или дни. Если заметить, что именно спрашивается, легче не подменить нужное значение каким-то промежуточным.
Связи между величинами удобно показывать краткой записью, схемой, таблицей или чертежом. Такая модель делает условие наглядным: видно, какие данные относятся друг к другу, какие части равны и чего пока не хватает. Выбирай способ по задаче: отрезки помогают сравнивать величины, таблица — сопоставлять данные, а краткая запись — быстро собрать главное.
Выбирая действие, ориентируйся на смысл связи, а не на отдельные слова в тексте. Например, слово «больше» не всегда означает, что нужно сразу складывать: задача может спрашивать, на сколько одна величина больше другой, и тогда потребуется вычитание. Спроси себя, что именно означает результат действия и соответствует ли он вопросу.
План решения можно строить от известных данных к искомому или, наоборот, от вопроса к величинам, которые помогут на него ответить. В первом случае последовательно находят промежуточные результаты; во втором выясняют, что нужно знать для ответа и как получить эти сведения. Каждый шаг должен опираться на условие или результат предыдущего шага, иначе вычисления окажутся несвязанными.
После вычислений проверь, подходит ли результат к условию и правдоподобен ли он. Например, число карандашей в коробке не должно быть дробным, если речь идёт о целых карандашах. Затем запиши ответ с названием величины и единицей измерения: так ясно, что найдено, и можно убедиться, что ответ действительно решает поставленный вопрос.
| Этап | Что сделать | Результат |
|---|---|---|
| Анализ условия | Выделить известные и неизвестные величины, определить вопрос | Понятно, что дано и что нужно найти |
| Поиск связи | Установить зависимость между величинами с помощью схемы, таблицы или рассуждения | Выбран способ решения |
| Составление плана | Определить последовательность действий или составить уравнение | Получена математическая модель задачи |
| Выполнение решения | Выполнить вычисления и записать промежуточные результаты | Найдено значение искомой величины |
| Проверка и ответ | Проверить результат и сформулировать ответ по вопросу задачи | Готовая обоснованная запись решения |
Используй таблицу как последовательность ориентиров, а не как обязательный бланк для каждой задачи. Если на каком-то этапе неясно, что делать дальше, вернись к условию и проверь, какие величины уже известны и какая связь ещё не установлена. В простой задаче несколько этапов могут уместиться в одной записи, но проверка и ответ всё равно нужны.
В четырёх одинаковых коробках 28 карандашей. Нужно узнать, сколько карандашей в одной коробке. Общее количество распределено поровну между четырьмя коробками, поэтому делим 28 на 4.
Определяем, что известно: всего 28 карандашей и 4 одинаковые коробки. Ищем количество карандашей в одной коробке.
Поскольку коробки одинаковые, число карандашей в каждой находят делением общего количества на число коробок: 28 : 4 = 7. Проверяем умножением: 7 · 4 = 28, значит, общее количество восстановлено верно.
Ответ: 7 карандашей в одной коробке.
В первый день турист прошёл 12 км, во второй — на 5 км больше, а в третий — на 4 км меньше, чем во второй. Требуется найти весь путь за три дня. Нельзя сразу сложить известные числа: расстояния за второй и третий дни пока не указаны, их нужно вычислить по очереди.
Находим расстояние за второй день: 12 + 5 = 17 км. Здесь прибавляем 5 км к пути первого дня, потому что по условию второй путь на столько больше.
Находим путь за третий день: 17 − 4 = 13 км. Уменьшаем расстояние второго дня на 4 км, как сказано в условии.
Складываем расстояния за все три дня: 12 + 17 + 13 = 42 км. Все слагаемые выражены в километрах, поэтому их можно складывать.
Ответ: турист прошёл за три дня 42 км.
Периметр прямоугольника равен 34 см, длина на 3 см больше ширины. Нужно найти обе стороны. Обозначим ширину буквой x см; тогда длина равна x + 3 см, а периметр равен удвоенной сумме ширины и длины.
Записываем связь между сторонами и периметром: 2(x + x + 3) = 34. Уравнение отражает условие целиком: в периметр входят две ширины и две длины.
Решаем уравнение: 2(2x + 3) = 34, значит, 4x + 6 = 34, 4x = 28, x = 7. Это ширина; длина на 3 см больше, поэтому 7 + 3 = 10 см.
Проверяем: 2 · (7 + 10) = 34 см, а 10 − 7 = 3 см. Оба условия выполняются, значит, найденные стороны подходят.
Ответ: ширина 7 см, длина 10 см.
Начинать вычисления, не выяснив, что требуется найти, — значит рисковать ответить не на тот вопрос. Обычно так происходит, когда внимание сразу цепляется за числа, а не за смысл задачи. Перед вычислением сформулируй искомое своими словами и проверь, будет ли результат отвечать именно на этот вопрос.
Выбирать действие только по словам «больше», «меньше» или «всего» опасно: одно и то же слово встречается в разных отношениях между величинами. Ошибка появляется, когда слово принимают за готовую команду и не представляют ситуацию. Проверь действие вопросом: что обозначит результат и согласуется ли это с условием?
Если потерять единицы измерения или сложить величины в разных единицах, число может оказаться бессмысленным. Так бывает, когда сосредотачиваются на вычислениях и забывают, что обозначают данные. Записывай единицы рядом с величинами и перед сложением или вычитанием приводи их к одинаковым единицам.
Запись одного числа без проверки и ответа не показывает, что именно найдено и почему результат подходит. Это часто происходит, когда вычисление принимают за всё решение. Подставь результат в условие, оцени его правдоподобие и сформулируй ответ словами с названием величины и единицей.
Для решения текстовых задач нужны знания о смысле арифметических действий, единицах величин и порядке действий. Полезно также уметь делать краткую запись условия: так данные проще сопоставить и увидеть, чего не хватает. Эти навыки помогают переводить обычное описание ситуации в понятные вычисления.
Способ рассуждать по условию пригодится в задачах на движение, покупки, работу, проценты и зависимости величин. В таких задачах важно определить, как связаны данные, и выстроить последовательность шагов. Когда неизвестную удобно обозначить буквой, связь можно записать уравнением и использовать его для поиска ответа.
Как понять, какое действие нужно выполнить первым?
Сначала выясни, что нужно найти, и какие величины известны. Затем определи, как они связаны: например, общее количество разделено поровну на несколько частей — значит, нужно деление. Первым выполняй действие, которое позволяет найти нужную для следующих шагов величину.
Обязательно ли составлять краткую запись или схему?
Нет, если условие короткое и связь величин ясна, можно обойтись без неё. Но краткая запись, схема или таблица особенно полезны, когда данных много или решение состоит из нескольких шагов. Они помогают заметить, что известно и чего не хватает.
Когда для решения задачи удобнее использовать уравнение?
Уравнение удобно, когда неизвестную величину можно обозначить буквой, а остальные выразить через неё. Затем связь из условия записывают равенством. Такой способ часто помогает найти несколько связанных величин, например стороны прямоугольника по периметру.
Как проверить, что полученный ответ правильный?
Подставь найденное значение в исходные зависимости и проверь, выполняются ли они. Оцени, правдоподобно ли число в данной ситуации и подходит ли его единица измерения. Наконец, убедись, что ответ действительно отвечает на вопрос задачи.
Почему в ответе обязательно указывать единицу измерения?
Число без единицы не показывает, что именно найдено: километры, рубли или предметы. Единица должна соответствовать искомой величине и данным задачи. Если величины выражены в разных единицах, перед вычислениями их нужно привести к одинаковым.
3.56. Решение задач
