3.55. Задача на уменьшение числа

Определения и обозначения

Задача на уменьшение числа — задача, в которой нужно найти количество, меньшее известного на указанное число единиц. Например, если в коробке лежало 10 кубиков, а несколько убрали, то оставшееся количество меньше исходного. Такое определение помогает распознать, что именно требуется найти: не разницу между двумя готовыми количествами, а новое, уменьшенное количество. Поэтому сначала ищут исходное число и величину уменьшения.

Уменьшить число на несколько единиц — значит вычесть из него указанное число. Если было 10 кубиков и убрали 3, запись будет 10 − 3. Это правило нужно, чтобы перейти от описания действия словами к математической записи. Исходное количество называют уменьшаемым, число, которое вычитают, — вычитаемым, а результат — разностью.

На сколько меньше — разность между большим и меньшим количеством; это выражение также помогает сравнить два количества. Например, если у одного ребёнка 9 фишек, а у другого 6, первый имеет на 3 фишки больше, а второй — на 3 меньше. Разность показывает расстояние между количествами, но сама по себе не сообщает, сколько предметов у каждого. Это различие помогает не принять число единиц уменьшения за искомый ответ.

Как это устроено

Чтобы распознать задачу, найди исходное количество и число единиц, на которое искомое меньше. Обычно условие содержит слова «убрали», «отдали», «осталось меньше» или «на несколько меньше». Они указывают на изменение количества либо на сравнение с известным количеством. Но одних ключевых слов недостаточно: нужно понять, какое число в условии было сначала, а какое требуется найти.

Для решения выбирают вычитание, потому что искомое количество получают, убирая часть исходного. Если предметов стало меньше, добавление не описывает происходящее: сложение увеличило бы число. При уменьшении известна начальная величина и известно, сколько единиц от неё отнимают. Разность и показывает, сколько осталось или сколько получится после уменьшения.

Запиши решение так: сначала обозначь известное количество, затем поставь знак вычитания и укажи число, на которое его уменьшают. Например, если было 18 предметов, а нужно найти количество на 4 меньше, составь выражение 18 − 4. Число 18 ставят первым, потому что именно его уменьшают. После вычисления подпиши ответ подходящими единицами: предметами, книгами, сантиметрами и так далее.

Проверка помогает убедиться не только в вычислении, но и в том, что выбран верный смысл задачи. Искомое количество должно быть меньше исходного, ведь его уменьшали. Кроме того, если вычесть ответ из исходного количества, получится указанное число единиц уменьшения. Например, для 18 − 4 = 14 проверка выглядит так: 18 − 14 = 4.

Задача на уменьшение отличается от задачи на сравнение вопросом и известными данными. При уменьшении известно исходное количество и величина уменьшения, а требуется найти меньшее количество. При сравнении оба количества уже известны, и нужно узнать, на сколько одно больше или меньше другого. В обоих случаях встречаются слова «на сколько», поэтому важно выяснить, просят ли найти новое количество или разницу.

Как найти число, уменьшенное на несколько единиц

Заполни таблицу по условию задачи: определи исходное количество, величину уменьшения и то, что нужно найти. В последней строке запиши действие и ответ с единицами измерения. Такая схема помогает не перепутать числа и выбрать правильный порядок вычитания.

Разбор задач

У Маши было 8 яблок. Она отдала 3 яблока. Сколько яблок у неё осталось? В условии известно начальное количество — 8 яблок, а после того как часть отдали, яблок стало меньше. Значит, нужно найти остаток, а число отданных яблок показывает, насколько уменьшилось количество.

1. Определи, какое количество было сначала: 8 яблок. Это исходное число, из которого нужно вычесть отданные яблоки.
2. Запиши действие: 8 − 3 = 5. Вычитание подходит, потому что яблоки отдали, а не добавили.
3. Проверь: 5 меньше 8, а 8 − 5 = 3. Оба условия выполняются.

Ответ: у Маши осталось 5 яблок.

На верхней полке 14 книг, а на нижней на 5 книг меньше. Сколько книг на нижней полке? Слова «на 5 книг меньше» сравнивают количество книг на полках: нижнее количество меньше верхнего на 5. Известна верхняя полка, поэтому именно её количество нужно уменьшить на 5.

1. Найди исходное количество: на верхней полке 14 книг. Искомое количество относится к нижней полке.
2. Составь выражение и вычисли: 14 − 5 = 9. Число 5 означает разницу, а не количество книг на нижней полке.
3. Проверь смысл: 9 меньше 14, и 14 − 9 = 5. Значит, на нижней полке действительно на 5 книг меньше.

Ответ: на нижней полке 9 книг.

В коробке было 23 карандаша. После того как несколько карандашей раздали, в ней осталось на 7 карандашей меньше, чем было. Сколько карандашей осталось? В условии уже названы исходное количество — 23 карандаша — и величина уменьшения — 7 карандашей. Неизвестно, сколько осталось, поэтому ищем уменьшенное количество, а не число раздали отдельно.

1. Выдели исходное количество: 23 карандаша. Именно его сравнивают с оставшимся количеством.
2. Вычти величину уменьшения: 23 − 7 = 16. Полученная разность обозначает число карандашей после раздачи.
3. Проверь: 16 меньше 23, а 23 − 16 = 7. Значит, ответ отличается от исходного ровно на указанное число.

Ответ: в коробке осталось 16 карандашей.

Типичные ошибки

Сложить исходное количество и число уменьшения — значит получить число больше исходного. Так ошибаются, если выбирают действие по отдельным числам, не представляя, что произошло с предметами. Проверь направление изменения: если количество стало меньше, сложение не подходит. В ответе при уменьшении должно быть меньше предметов, чем было сначала.

Вычесть исходное количество из числа уменьшения — значит перепутать порядок чисел. Такая ошибка возникает, когда ученик замечает слова «вычесть» и «меньше», но не определяет, какое количество уменьшают. Сначала найди исходное число: оно должно стоять перед знаком вычитания. Если уменьшаемое меньше вычитаемого, проверь, не переставил ли ты числа местами.

Принять слова «на 5 меньше» за указание, что ответ равен 5, — значит спутать разницу с искомым количеством. Число 5 показывает, насколько количества отличаются, а не сколько предметов находится в меньшей группе. Ошибка появляется, когда в условии замечают число, но не связывают его с исходным количеством. Для проверки составь выражение: от большего количества нужно вычесть 5.

Не проверить смысл ответа — значит оставить без внимания, подходит ли результат к условию. Такое бывает, если после вычисления считают задачу законченной. Убедись, что ответ меньше исходного, а вычитание ответа из исходного даёт число уменьшения. Если хотя бы одно условие не выполняется, вернись к выбору действия или пересчитай разность.

Связь с другими темами

Для решения нужно уметь вычитать натуральные числа и понимать, что разность показывает результат вычитания. Тема связана с задачами на увеличение числа: там, напротив, к исходному количеству прибавляют несколько единиц. Она также помогает решать задачи на сравнение, где находят, на сколько различаются два известных количества. В составной задаче уменьшенное количество может стать промежуточным результатом, нужным для следующего действия.

Что запомнить

• Уменьшить число на несколько единиц — значит вычесть.
• Исходное количество — уменьшаемое.
• Число единиц уменьшения — вычитаемое.
• Искомое количество находят вычитанием.
• При уменьшении результат меньше исходного.
• Проверь, что разность между исходным и полученным количеством равна числу уменьшения.