"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Текстовую задачу решают не угадыванием действия, а последовательным разбором связей между величинами. Сначала выясняют, что известно и что требуется найти, затем выбирают удобную запись условия и строят математическую модель — например, выполняют вычисления или составляют уравнение. После решения проверяют, подходит ли результат к условию и имеет ли смысл в реальной ситуации. Такой порядок помогает находить ответы и замечать ошибки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Текстовая задача — описание жизненной ситуации с известными и неизвестными величинами, между которыми установлены связи. Например, известны цена и количество покупки, а найти нужно её стоимость. Это определение помогает не воспринимать числа по отдельности: каждое из них относится к конкретной величине и участвует в условии.
Краткая запись — компактное представление условия с помощью величин, схемы, таблицы или рисунка. Вместо длинного текста можно записать данные строками и обозначить неизвестное буквой. Такая запись нужна, чтобы не потерять важную информацию и легче увидеть, какие величины сравниваются или складываются.
Математическая модель — выражение, уравнение, схема или другая запись, описывающая связи между величинами задачи. Например, если к неизвестному числу добавили 17 и получили 35, связь можно записать как x + 17 = 35. Модель нужна, чтобы перейти от слов к математическим действиям и решить задачу.
Проверка решения — установление того, удовлетворяет ли найденный ответ условию задачи. Для проверки можно подставить результат в уравнение или восстановить исходные данные обратным действием. Она нужна, чтобы обнаружить ошибку в вычислениях или понять, что выбранный способ не отражает смысл условия.
Задачу начинают с внимательного чтения, потому что отдельные числа сами по себе не подсказывают, что именно нужно вычислять. Найдите вопрос и своими словами сформулируйте, какую величину требуется определить. Затем отделите известные данные от неизвестных и отметьте слова, которые сообщают о связи величин: например, «всего», «на столько-то больше» или «в несколько раз меньше».
Краткая запись, таблица, схема или чертёж нужны не для украшения решения, а чтобы сделать отношения между данными наглядными. В таблице удобно расположить одинаковые величины в одной строке или столбце, а на схеме показать часть и целое, сравнение или последовательность действий. Благодаря такой модели проще заметить, каких данных не хватает для ответа и что можно найти сначала.
Модель выбирают по тому, как устроена задача. Если нужную величину можно получить несколькими понятными действиями, подходит арифметический способ: например, найти остаток вычитанием. Если неизвестное участвует сразу в нескольких связях, часто удобнее обозначить его буквой и составить уравнение; для нескольких неизвестных могут понадобиться несколько уравнений. Не выбирайте уравнение только потому, что в задаче есть числа: оно должно точно передавать условие.
Порядок действий или составление уравнения должен следовать связям, указанным в тексте, иначе вычисления ответят на другой вопрос. Например, фраза «на 5 больше» означает, что к величине нужно прибавить 5, а «в 5 раз больше» — умножить её на 5. Перед вычислением проговорите, что означает каждое действие или часть уравнения. Так легче заметить, если смысл слов и запись не совпадают.
После вычислений запишите ответ с названием величины и единицей измерения, чтобы было ясно, что именно найдено. Затем проверьте результат по условию: подставьте его в модель или выполните обратное действие. Такая проверка нужна не только для поиска арифметической ошибки: она помогает заметить неверные единицы и результат, который не подходит к описанной ситуации.
| Этап | Что нужно сделать | Результат |
|---|---|---|
| Анализ условия | Определить известные и неизвестные величины, установить связи между ними | Понятно, что требуется найти |
| Краткая запись или схема | Представить условие компактно и выбрать обозначение неизвестного | Наглядная модель задачи |
| Составление плана | Определить последовательность действий или записать уравнение | Математическая модель решения |
| Выполнение вычислений | Найти неизвестную величину | Числовой результат |
| Проверка | Сопоставить результат с условием и смыслом задачи | Подтверждённое решение |
| Ответ | Записать найденную величину с единицей измерения | Полный ответ на вопрос задачи |
Пользуйтесь таблицей как последовательностью действий, а не как набором отдельных формальностей: результат одного этапа помогает перейти к следующему. Если на каком-то шаге непонятно, что делать, вернитесь к условию и уточните связи между величинами. Запись ответа завершает решение, но не заменяет проверку.
После того как из коробки взяли 17 карандашей, в ней осталось 35. Нужно найти начальное количество, то есть число карандашей до того, как их взяли. Остаток — это начальное количество без 17 карандашей, поэтому для восстановления целого надо прибавить взятое количество.
Ответ: сначала в коробке было 52 карандаша. Здесь обратное действие удобно, потому что задача сообщает остаток после уменьшения начального количества. Проверка воспроизводит описанное событие и приводит к данным из условия.
Во второй корзине яблок меньше, чем в первой, а количество в первой в три раза больше второго. Известна сумма — 48 яблок; требуется найти содержимое обеих корзин. Удобно обозначить за x меньшее количество, потому что тогда большее выражается через него простым умножением.
Ответ: в первой корзине 36 яблок, во второй — 12 яблок. Обозначение меньшего количества позволяет выразить обе величины через одну неизвестную. Проверка одновременно подтверждает и общую сумму, и условие о том, во сколько раз одно количество больше другого.
Турист прошёл 12 км пешком, затем проехал на велосипеде вдвое больше, всего затратил 3 часа, а скорость велосипеда на 8 км/ч выше скорости пешехода. Нужно найти обе скорости. Обозначим скорость пешехода за x км/ч, тогда скорость велосипедиста равна x + 8 км/ч, а велосипедный путь — 24 км.
Ответ: скорость пешехода — 8 км/ч, скорость велосипедиста — 16 км/ч. Проверка учитывает все связи: путь на велосипеде вдвое длиннее пешего, скорости отличаются на 8 км/ч, а общее время равно 3 часам. Отрицательный корень уравнения отброшен, поскольку скорость не может быть отрицательной.
Иногда находят промежуточную величину и принимают её за ответ, хотя вопрос требует другого. Это происходит, когда условие читают невнимательно или не возвращаются к вопросу после вычислений. Перед записью ответа проверьте, названа ли именно искомая величина, а не только число, нужное для следующего шага.
Другая ошибка — неверно переводить словесную связь в действие: «на 5 больше» принимают за «в 5 раз больше». Похожие слова легко спутать, если сразу начинать вычисления, не объяснив смысл отношения. Составьте короткую запись или подставьте простой пример: если было 10, то на 5 больше — 15, а в 5 раз больше — 50.
Число без единицы измерения не сообщает, что именно найдено, а смешение единиц может привести к неверному вычислению. Например, время в минутах нельзя без преобразования складывать со временем в часах. Записывайте единицы рядом с данными и приводите величины к одинаковым единицам, если их нужно сравнивать или складывать.
Если не проверять ответ, можно не заметить отрицательное значение количества, неподходящую дробь или слишком большое число. Обычно это происходит, когда решение считают завершённым сразу после вычислений. Подставьте результат в условие, проверьте единицы и оцените, возможен ли он в описанной ситуации; при несоответствии вернитесь к модели и вычислениям.
Для решения задач нужны основные арифметические действия, порядок действий, единицы измерения и умение решать уравнения. Если один из этих навыков пока неуверенный, стоит потренироваться на коротких примерах до составления сложной модели. Тогда внимание останется на смысле условия, а не только на вычислениях.
Краткая запись связывает текст с таблицами, отрезками, чертежами и чтением математической информации. Такие способы представления помогают сравнивать величины и замечать закономерности, которые трудно увидеть в сплошном тексте. Выбирайте тот вид записи, который яснее всего показывает отношения в конкретной задаче.
Навык моделирования пригодится при изучении процентов, дробей, пропорций, движения, работы и систем уравнений. Во всех этих темах сначала нужно понять, какие величины известны и как они связаны, а затем выбрать подходящую запись. Поэтому освоенные этапы решения задач помогают переносить знакомый способ рассуждения на новые ситуации.
Как понять, какое действие выполнить первым?
Сначала определите, какие величины связаны с вопросом задачи, и выясните, какие из них уже известны. Первым выполняйте действие, которое позволяет найти нужную промежуточную величину, опираясь на данные условия. Объясните себе, какую связь выражает это действие.
Когда задачу удобнее решать уравнением?
Уравнение удобно, если в задаче есть неизвестная величина и связи между величинами можно записать через неё. Обозначьте неизвестное буквой, выразите остальные величины и составьте равенство по условию. Решение уравнения даст значение неизвестного.
Как выбрать неизвестную величину?
Обычно буквой обозначают то, о чём спрашивают, или величину, через которую проще выразить остальные. Проверьте, чтобы выбранное обозначение было понятным, а единица измерения — подходящей. Если неизвестных несколько, начните с величины, связывающей данные условия.
Что делать, если в условии несколько величин и единиц измерения?
Запишите величины вместе с единицами и посмотрите, какие из них участвуют в одном действии или формуле. Перед вычислениями приведите сравниваемые величины к совместимым единицам, например метры к километрам или минуты к часам. В ответе укажите единицу той величины, которую требуется найти.
Как правильно проверить ответ?
Подставьте найденное значение в условие или выполните обратное действие и убедитесь, что получаются исходные данные. Затем проверьте единицу измерения и оцените, реалистично ли число для описанной ситуации. Если ответ не согласуется с условием, пересмотрите модель и вычисления.
3.54. Решение задач
