"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Величины описывают свойства предметов и явлений: длину, массу, время, объём. Чтобы сравнить или вычислить величины, нужно убедиться, что они относятся к одному виду, а затем выразить их в одинаковых единицах. Например, метры можно сравнивать с сантиметрами после перевода, а длину нельзя складывать с массой. Разберём, как выполнять такие действия и проверять результат.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Однородные величины — величины одного вида, например длины или массы. Их можно сравнивать и складывать, потому что они описывают одно и то же свойство предметов. Так, длина одной ленты и длина другой ленты однородны, а длина и масса — нет. Поэтому для действий сначала проверяют, к какому виду относятся величины.
Единица измерения — величина, которую принимают за единицу при измерении величин того же вида. Например, длину измеряют в метрах или сантиметрах, а массу — в килограммах или граммах. Единица показывает, что именно сосчитано в числовом значении. Без неё запись результата неполная: число 5 само по себе не говорит, идёт ли речь о метрах, килограммах или минутах.
Именованное число — число вместе с наименованием единицы измерения, например 8 см или 3 кг. Наименование помогает понять, какую величину обозначает число и с какой величиной его допустимо сравнивать или складывать. Запись 8 без единицы может обозначать длину, массу, время и многое другое. Поэтому в ответах единицу не отбрасывают.
Соизмеримые величины — однородные величины, выраженные в одинаковых единицах, например 2 м и 5 м. Именно так удобно выполнять сравнение и арифметические действия: числовые значения относятся к одной и той же мерке. Если единицы различаются, величины приводят к общим единицам переводом. Например, 1 м 20 см можно записать как 120 см.
Сравнивать величины имеет смысл, если они относятся к одному виду. Иначе вопрос о том, какая из них больше, не имеет общего критерия: длина характеризует протяжённость, а масса — тяжесть тела. Например, нельзя содержательно утверждать, что 5 м больше или меньше 4 кг. Сначала определяют вид величин, и только потом выбирают способ сравнения.
Чтобы сравнить однородные величины, их удобно выразить в одинаковых единицах. Тогда число показывает количество одинаковых мерок, и большие числовые значения соответствуют большим величинам. Например, 3 м и 280 см можно сравнить после перевода метров в сантиметры: 3 м = 300 см. Теперь достаточно сравнить 300 и 280, поэтому 3 м > 280 см.
При сложении и вычитании единицы измерения должны совпадать. Причина в том, что числовые значения показывают количество конкретной мерки: складывать 2 метра и 30 сантиметров как числа 2 и 30 нельзя, ведь мерки неодинаковы. Поэтому перед вычислением переводят одну или обе величины в выбранную общую единицу. Значение величины от перевода не меняется — меняется только способ его записи.
Когда единицы одинаковы, при сложении складывают числовые значения, а общую единицу записывают один раз. При вычитании находят разность числовых значений и также указывают эту единицу. Например, 4 м + 2 м = 6 м, а 9 кг − 3 кг = 6 кг. Если ответ нужно представить составной величиной, его можно перевести обратно: например, 4150 г = 4 кг 150 г.
Результат сложения или вычитания однородных величин сохраняет их вид, поскольку действие объединяет или сравнивает количества одного свойства. Сумма длин остаётся длиной, а разность масс — массой; другой вид величины из такого действия не возникает. Для проверки оцените ответ: сумма положительных длин должна быть больше каждого слагаемого, а остаток после отрезания — меньше исходной длины. Также проверьте, что единица результата подходит к условию.
| Действие | Что проверить | Как выполнить | Что получится |
|---|---|---|---|
| Сравнение однородных величин | Величины одного вида | Сравнить числовые значения, если единицы одинаковы | Знак <, > или = |
| Сравнение величин в разных единицах | Величины одного вида | Перевести в одинаковые единицы и сравнить числа | Знак <, > или = |
| Сложение | Один вид величин и общая единица | Сложить числовые значения | Сумма с общей единицей |
| Вычитание | Один вид величин и общая единица | Вычесть числовые значения | Разность с общей единицей |
Пользуйтесь таблицей как коротким алгоритмом: сначала проверьте вид величин, затем единицы. Если они не совпадают, выполните перевод, а после этого сравнивайте числа или выполняйте действие. В конце запишите ответ с подходящей единицей и оцените, разумен ли он.
Задача 1. Сравните 3 м и 280 см. Это величины одного вида — длины, поэтому сравнение допустимо. Однако единицы разные, и числовые значения 3 и 280 нельзя сравнивать напрямую. Переведём метры в сантиметры: в одном метре 100 см.
Ответ: 3 м > 280 см. Перевод помог сравнить количество одинаковых мерок — сантиметров, а не просто разные числа.
Задача 2. Вычислите 2 кг 350 г + 1 кг 800 г. Складываются массы, значит, величины однородны. Для вычисления можно перевести обе массы в граммы, чтобы у слагаемых была одна единица. После сложения удобно вернуть ответ к килограммам и граммам.
Ответ: 4 кг 150 г. Проверка оценкой показывает, что сумма должна быть больше 2 кг 350 г и 1 кг 800 г; полученные 4 кг 150 г этому условию соответствует.
Задача 3. От ленты длиной 5 м 20 см отрезали 2 м 75 см. Сколько ленты осталось? Нужно найти разность длин, поэтому сначала приведём их к общей единице. Выберем сантиметры: тогда вычитание выполняется с целыми числами, а в конце результат можно записать метрами и сантиметрами.
Ответ: осталось 2 м 45 см. Результат меньше исходных 5 м 20 см, как и должно быть после отрезания части ленты.
Ошибка: сравнивать величины разных видов, например 5 м и 4 кг. Так делают, когда считают, что любые числа с единицами можно сопоставить. Но метры описывают длину, а килограммы — массу, и общего порядка сравнения у них нет. Проверьте себя: назовите вид каждой величины; если он различается, сравнение не выполняют.
Ошибка: складывать или вычитать числовые значения при разных единицах. Например, запись 2 м + 30 см = 32 м неверна, потому что слагаемые выражены разными мерками. Сначала переведите величины в общие единицы, а затем вычисляйте. Проверка проста: подставьте результат обратно в условие и убедитесь, что в вычислении использовалась одна единица.
Ошибка: переводить единицы не в ту сторону или с неверным множителем. Такое случается, если забыть, что в той же величине мелких единиц содержится больше, чем крупных: например, 1 м = 100 см. Поэтому метры в сантиметры переводят умножением на 100, а сантиметры в метры — делением на 100. Проверьте, увеличилось ли число при переходе к более мелкой единице.
Ошибка: записывать в ответе только число или указывать неподходящую единицу. Например, ответ 7 вместо 7 кг не сообщает, что именно измерено. Иногда единицу берут от одного слагаемого, хотя вычисление проводили в другой. Сверьте ответ с видом исходных величин и обязательно подпишите общую единицу результата.
Для работы с величинами нужно знать единицы длины, массы, времени и объёма, а также соотношения между ними. Например, полезно помнить, что 1 м = 100 см, а 1 кг = 1000 г. Эти знания связывают измерение с переводом единиц и вычислениями с натуральными числами и десятичными дробями. Тема пригодится в практических задачах, где нужно считать результаты измерений, а также при вычислениях с величинами в геометрии и физике.
Можно ли сравнить 2 метра и 150 сантиметров?
Да, это величины одного вида — длины. Переведём 2 м в сантиметры: 2 м = 200 см. Так как 200 см > 150 см, то 2 м > 150 см.
Почему перед сложением величин нужно привести их к одинаковым единицам?
Числовые значения показывают, сколько единиц измерения содержится в величине. Если единицы разные, числа относятся к разным меркам и их нельзя просто сложить или вычесть. После перевода обе величины выражены в одной мерке.
Как понять, в какую сторону переводить единицы?
Определите, какая единица мельче. При переходе к более мелким единицам числовое значение увеличивается, а при переходе к более крупным — уменьшается. Например, 1 м = 100 см, поэтому метры переводят в сантиметры умножением на 100.
Можно ли складывать длину и площадь?
Нет, это величины разных видов: длина измеряется, например, в метрах, а площадь — в квадратных метрах. Даже если числа выглядят удобными для сложения, такой результат не будет иметь смысла. Складывать можно только однородные величины.
Как правильно вычитать величины, если в записи есть метры и сантиметры?
Сначала приведите обе величины к одинаковым единицам, например переведите метры и сантиметры в сантиметры. Затем вычтите числовые значения и укажите единицу измерения. Можно также занять один метр и заменить его на 100 см.
3.69. Сравнение, сложение и вычитание величин
