3.8. Ломаная. Замкнутая ломаная. Треугольник

Определения и обозначения

Ломаная — фигура, составленная из последовательно соединённых отрезков. Отрезки называют звеньями, а их общие концы — вершинами. Это определение помогает отличить ломаную от нескольких отрезков, которые никак не связаны между собой.

Звено ломаной — один из отрезков, из которых она составлена. У звена есть два конца: они являются вершинами ломаной или точками, в которых оно соединяется с соседними звеньями. Название «звено» удобно, чтобы говорить об отдельном прямом участке фигуры.

Замкнутая ломаная — ломаная, у которой конец последнего звена совпадает с началом первого. Первое и последнее звенья соединяются в одной вершине, поэтому у такой фигуры нет свободных концов. Это свойство позволяет узнать, образует ли ломаная замкнутую фигуру.

Треугольник — замкнутая ломаная из трёх звеньев. Эти звенья называются сторонами треугольника, а точки их соединения — его вершинами. Определение помогает не путать треугольник с тремя отрезками, которые не образуют замкнутую фигуру.

Как это устроено

Ломаную задают последовательностью отрезков: конец каждого звена, кроме последнего, служит началом следующего. Поэтому у соседних звеньев есть общая точка, а фигура получается связной, а не распадается на отдельные части. Если обозначить вершины буквами A, B, C и соединить их по порядку, ломаная проходит через звенья AB и BC.

Вершины ломаной — точки соединения соседних звеньев, а также её концы, если ломаная не замкнута. Вершина должна быть концом хотя бы одного звена: точка, лежащая внутри прямого отрезка, сама по себе не становится вершиной. Порядок букв показывает, как именно обходить фигуру, и не даёт перепутать соседние звенья. Например, запись A–B–C означает, что сначала идёт звено AB, затем BC.

У замкнутой ломаной первое и последнее звенья тоже имеют общую вершину. Так происходит потому, что конец последнего звена возвращается в исходную точку. В результате у фигуры не остаётся свободных концов, а обход можно продолжить от последнего звена к первому. Недостаточно, чтобы концы лишь находились рядом: они должны совпасть в одной точке.

Замкнутая ломаная из трёх звеньев имеет три вершины и три стороны. Каждая сторона соединяет две соседние вершины, а вместе все стороны образуют замкнутый контур. Именно поэтому такая фигура является треугольником. Если три звена не соединены в замкнутую цепочку, треугольника не получится.

Чтобы определить вид фигуры по рисунку, сначала проследи, как соединяются соседние отрезки. Затем проверь, где начинается обход и куда он приходит после прохождения всех звеньев. Если конец последнего звена совпал с началом первого, фигура замкнута; если звеньев три и они образуют такой контур, это треугольник. Такой порядок проверки помогает не опираться только на внешний вид рисунка.

Сравнение ломаной, замкнутой ломаной и треугольника

Сравнивай сначала способ соединения звеньев, а затем их количество. Замкнутая ломаная может состоять не только из трёх звеньев, поэтому для распознавания треугольника нужны оба признака: замкнутость и три звена.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке последовательно соединены три отрезка. Укажите звенья и вершины получившейся фигуры. Пусть точки соединения и концы отрезков обозначены A, B, C и D, а отрезки идут в таком порядке: AB, BC, CD. Нужно отделить названия отрезков от названий точек.

1. Проследим фигуру от её начала: первым идёт отрезок AB.
2. После точки B следует отрезок BC, а после точки C — CD.
3. Значит, звенья — AB, BC и CD. Вершины, перечисленные по порядку, — A, B, C, D.

Ответ: звенья AB, BC, CD; вершины A, B, C, D.

Задача 2. Определите, какие из изображённых фигур являются замкнутыми ломанными. Для каждой фигуры отмечены последовательные звенья, но часть концов может оставаться свободной. Здесь важно проверять соединение концов, а не то, насколько близко они нарисованы.

1. Выберем начало и проследим фигуру по всем звеньям до последнего.
2. Проверим, совпадает ли конец последнего звена с началом первого.
3. Если точки совпали, фигура замкнута; если между ними есть промежуток или они различны, фигура не замкнута.

Ответ: замкнутыми являются только те фигуры, у которых начало и конец обхода совпадают.

Задача 3. Ломаная состоит из трёх последовательно соединённых звеньев, причём её начало совпадает с концом. Определите фигуру и назовите её стороны и вершины. Обозначим точки контура по порядку A, B и C.

1. Начало совпадает с концом, значит, ломаная замкнута.
2. У неё ровно три звена, поэтому по определению это треугольник.
3. Его стороны — AB, BC и CA; вершины — A, B и C. Последнее звено CA соединяет конец обхода с началом.

Ответ: треугольник со сторонами AB, BC, CA и вершинами A, B, C.

Типичные ошибки

Иногда вершинами называют любые точки, отмеченные на отрезках. Так происходит потому, что точка на рисунке кажется важной, даже если она не является концом звена. Проверь себя: вершина должна быть концом звена или точкой соединения соседних звеньев; точка внутри отрезка не становится вершиной только из-за отметки.

Фигуру могут посчитать замкнутой, если её концы почти соприкасаются. Это впечатление возникает из-за масштаба или неточности рисунка, но геометрическое совпадение не означает близость. Проследи обход и проверь, что конец последнего звена и начало первого — одна и та же точка, а не две соседние.

Ещё одна ошибка — путать звенья и вершины. Причина обычно в том, что оба понятия относятся к одним и тем же участкам фигуры: звенья заканчиваются в вершинах. Чтобы проверить себя, спроси, что именно называешь: отрезок или точку. Отрезок — звено, точка соединения — вершина.

Не всякая фигура из трёх отрезков является треугольником. Три отрезка могут не соединиться концами в непрерывную замкнутую цепочку, и тогда нужное определение не выполняется. Проверь, последовательно ли они соединены и возвращается ли последний отрезок к началу; только при выполнении обоих условий получится треугольник.

Связь с другими темами

Для изучения ломаной нужно знать, что такое отрезок, его концы и точка: без этих понятий нельзя определить звенья и вершины. Дальше эти слова пригодятся при изучении многоугольников, которые тоже состоят из отрезков и имеют вершины. Треугольник — один из таких многоугольников; его стороны, углы и периметр рассматривают отдельно. Поэтому распознавание замкнутой ломаной подготавливает к следующим геометрическим темам.

Что запомнить

• Ломаная состоит из последовательно соединённых отрезков.
• Отрезки ломаной называются звеньями.
• Точки соединения звеньев называются вершинами.
• У замкнутой ломаной начало и конец обхода совпадают.
• Треугольник — замкнутая ломаная из трёх звеньев.
• У треугольника три стороны и три вершины.