5.2. Интервальный ряд. Гистограмма

Определения и обозначения

Интервальный ряд — способ представить числовые данные, распределив их по промежуткам и указав число значений в каждом. Например, вместо длинного списка результатов измерений можно записать, сколько результатов лежит в каждом выбранном диапазоне. Такой вид помогает увидеть общую картину, не разбирая каждое число по отдельности.

Интервал группировки — промежуток, на который разбивают область значений данных. Для него задают левую и правую границы и правило, включаются ли границы в промежуток. Это нужно, чтобы число на общей границе не потерялось и не было посчитано дважды.

Частота интервала — количество наблюдений, попавших в этот интервал. Если в промежутке от 10 до 20 обнаружено семь значений, его частота равна 7. Частоты показывают, насколько многочисленна каждая группа; их сумма должна совпадать с числом всех наблюдений.

Гистограмма — изображение интервального ряда прямоугольниками: основания соответствуют интервалам, а высоты при равных интервалах показывают их частоты. Она позволяет быстро сравнить группы и увидеть, где значения встречаются чаще. В отличие от списка, график передаёт распределение данных наглядно.

Как это устроено

Большой список чисел трудно сравнивать и запоминать: отдельные значения отвлекают от общей картины. Интервальный ряд заменяет множество чисел небольшим количеством групп, поэтому сразу становится заметно, в каких областях данных много, а в каких мало. При этом сами значения не исчезают из исходных данных — меняется только способ их представления.

Сначала определяют диапазон данных: находят наименьшее и наибольшее значения. Затем выбирают несколько промежутков, которые вместе покрывают этот диапазон; часто удобно брать равные интервалы, чтобы сравнение было понятным. Слишком мало промежутков скроет различия между группами, а слишком много сделает ряд похожим на исходный список.

Чтобы найти частоты, проверяют каждое наблюдение и относят его к подходящему интервалу. Если интервалы имеют общую границу, заранее договариваются, к какому из них относится граничное значение: например, запись [0; 10) включает 0, но не включает 10. Тогда число 10 считают в следующем промежутке, и каждое наблюдение учитывается ровно один раз.

Для гистограммы интервалы откладывают по горизонтальной оси, а частоты — по вертикальной. Над каждым интервалом строят прямоугольник, высота которого при равной ширине промежутков равна частоте; соседние прямоугольники обычно соприкасаются, потому что показывают участки одной числовой шкалы. Если ширина интервалов различается, высота должна учитывать и ширину, иначе сравнение столбцов по высоте будет вводить в заблуждение.

Читая гистограмму, сравнивают высоты прямоугольников для равных интервалов и находят наиболее и наименее заполненные промежутки. Чтобы сравнить несколько групп, складывают частоты соответствующих интервалов, а не оценивают их на глаз. Так можно описать распределение данных: например, указать диапазон, в котором наблюдений больше всего.

Элементы интервального ряда и гистограммы

Таблица связывает название элемента с его смыслом и назначением. При разборе задачи сначала выясните, что показывает гистограмма, а затем используйте её прямоугольники для сравнения частот по интервалам.

Помните, что высоты напрямую показывают частоты, когда интервалы равны. Если их ширина различается, одной высоты для сравнения недостаточно.

Разбор задач

Задача 1. Даны результаты измерений: 12, 15, 17, 21, 23, 24, 28, 31. Составьте интервальный ряд, разбив значения на равные интервалы шириной 10. Возьмём промежутки [10; 20), [20; 30) и [30; 40): они имеют ширину 10 и покрывают все данные.

1. Значения 12, 15 и 17 попадают в [10; 20), поэтому частота этого интервала равна 3.
2. Значения 21, 23, 24 и 28 попадают в [20; 30), поэтому его частота равна 4.
3. В [30; 40) попадает 31, значит частота равна 1. Проверяем: 3 + 4 + 1 = 8.

Ответ: интервальный ряд: [10; 20) — 3; [20; 30) — 4; [30; 40) — 1. Сумма частот равна восьми, как и число измерений.

Задача 2. Для интервального ряда с интервалами [0; 10), [10; 20), [20; 30) и частотами 4, 7, 3 постройте гистограмму. Все интервалы имеют одинаковую ширину, поэтому частоты можно непосредственно отложить как высоты прямоугольников.

1. На горизонтальной оси отметьте последовательные промежутки от 0 до 30, разделив шкалу на интервалы шириной 10.
2. На вертикальной оси отметьте частоты. Над [0; 10) постройте прямоугольник высотой 4, над [10; 20) — высотой 7, над [20; 30) — высотой 3.
3. Сделайте основания прямоугольников соответствующими интервалам и расположите их вплотную друг к другу.

Ответ: получится гистограмма из трёх соприкасающихся прямоугольников с высотами 4, 7 и 3. Самый высокий прямоугольник относится к интервалу [10; 20).

Задача 3. По гистограмме распределения времени поездки определите интервал с наибольшей частотой и сравните число поездок длительностью менее 20 минут с числом поездок от 20 до 40 минут. Сначала найдите интервалы, которые входят в каждый из двух указанных диапазонов.

1. Определите, какому интервалу соответствует каждый прямоугольник, и сравните высоты: наибольшая частота у интервала с самым высоким прямоугольником.
2. Сложите частоты всех интервалов, лежащих ниже 20 минут: это число поездок длительностью менее 20 минут.
3. Отдельно сложите частоты интервалов от 20 до 40 минут. Сравните полученные суммы и укажите, в какой группе поездок больше и на сколько.

Ответ: конкретные интервал и сравнение определяют по значениям гистограммы. Без высот её прямоугольников числовой ответ получить нельзя; способ решения — найти наибольшую частоту и сложить частоты нужных групп.

Типичные ошибки

Граничное значение иногда не включают ни в один интервал или, наоборот, учитывают дважды. Это происходит, если не договориться заранее, какие границы включены; например, соседние промежутки [0; 10) и [10; 20) распределяют число 10 однозначно. Проверяйте правило на каждом общем крае и убеждайтесь, что значение относится ровно к одному промежутку.

Если сумма частот не равна числу наблюдений, часть данных пропущена или какие-то значения посчитаны повторно. Такая ошибка часто возникает при невнимательном просмотре списка или при неясных границах. Сложите частоты и сравните результат с количеством исходных значений; при несовпадении пересчитайте интервалы.

Промежутки между прямоугольниками оставляют, когда гистограмму путают с обычной столбчатой диаграммой. Но интервалы числовой шкалы идут друг за другом, и соприкасающиеся прямоугольники показывают эту непрерывность. Проверьте, что соседние основания подходят без зазора, если интервалы числовые и соседние.

При разных ширинах интервалов нельзя считать высоту прямоугольника обычной частотой и напрямую сравнивать столбцы. Ошибка возникает потому, что более широкий интервал охватывает больший диапазон значений, а его площадь и высота связаны иначе. Сверьте ширины промежутков; если они различаются, учитывайте ширину при построении и сравнении, иначе вывод по одним высотам будет неверным.

Связь с другими темами

Для работы с интервальным рядом пригодятся навыки упорядочивать числа, находить разность между границами и подсчитывать элементы. Например, разность границ помогает проверить ширину интервала, а упорядоченный список упрощает распределение значений по группам. Поэтому перед составлением ряда полезно проверить диапазон данных и выбранный шаг.

Интервальные ряды и гистограммы применяют при анализе результатов измерений, опросов и статистических данных. Они превращают множество отдельных результатов в наглядное распределение по группам. По такому представлению проще сравнивать наборы данных и замечать, где сосредоточено больше наблюдений.

Что запомнить

• Интервальный ряд группирует числовые данные по промежуткам.
• Каждое наблюдение должно попасть ровно в один интервал.
• Частота интервала — число наблюдений в нём.
• Сумма частот равна числу всех наблюдений.
• При равных интервалах высота прямоугольника гистограммы показывает частоту.
• По гистограмме можно сравнивать частоты и судить о распределении данных.