"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Характеристики разброса показывают, насколько значения числового ряда отличаются друг от друга и от среднего. Размах быстро описывает ширину всего диапазона, а дисперсия и среднее квадратичное отклонение учитывают отклонения каждого значения. Эти показатели нужны, чтобы сравнивать наборы данных с одинаковыми или разными средними и понимать, насколько значения изменчивы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Размах ряда — разность между его наибольшим и наименьшим значениями: R = xmax − xmin. Он показывает ширину интервала, в котором лежат все данные. Чем больше размах, тем шире общий диапазон значений.
Отклонение значения от среднего — разность между этим значением и средним арифметическим ряда: xᵢ − x̄. Если значение больше среднего, отклонение положительное, а если меньше — отрицательное. Нулевое отклонение означает, что значение совпало со средним.
Дисперсия — среднее арифметическое квадратов отклонений всех значений от среднего: D = ((x₁ − x̄)² + … + (xₙ − x̄)²) / n. Возведение в квадрат убирает знаки «плюс» и «минус», чтобы отклонения не компенсировали друг друга. Дисперсия даёт общую числовую оценку разброса.
Среднее квадратичное отклонение — квадратный корень из дисперсии: σ = √D. Оно выражает типичный разброс значений около среднего. В отличие от дисперсии, этот показатель измеряется в тех же единицах, что и исходные данные.
Чтобы быстро оценить разброс, сначала находят минимальное и максимальное значения. Их разность показывает, сколько единиц занимает весь диапазон от нижней границы до верхней. Такой расчёт прост, потому что для него не нужно обрабатывать каждое значение ряда.
Однако размах не рассказывает, где именно находятся значения внутри диапазона. Например, большая часть чисел может быть собрана около среднего, а два крайних значения — далеко от них. Поэтому ряды с одинаковыми крайними значениями и одинаковым размахом могут иметь совершенно разную плотность данных.
Для более подробного анализа находят среднее арифметическое и сравнивают с ним каждое число. Значения выше среднего дают положительные отклонения, а значения ниже среднего — отрицательные. При сложении эти отклонения взаимно компенсируются, потому что среднее является своеобразным центром ряда.
Чтобы компенсация не скрывала разброс, каждое отклонение возводят в квадрат. После этого все слагаемые становятся неотрицательными, а большое отклонение даёт особенно заметный вклад. Среднее квадратов учитывает не отдельную крайность, а отклонения всех значений, поэтому так получают дисперсию.
У дисперсии есть один неудобный признак: её единицы измерения возведены в квадрат. Например, для роста в сантиметрах дисперсия будет выражена в квадратных сантиметрах. Извлечение квадратного корня возвращает результат к сантиметрам, метрам или другим исходным единицам, поэтому среднее квадратичное отклонение легче объяснить и сравнить с данными.
| Характеристика | Как вычисляют | Что показывает | Единицы измерения |
|---|---|---|---|
| Размах ряда | R = xmax − xmin | Ширину общего диапазона значений | Те же, что у данных |
| Дисперсия | D = Σ(xᵢ − x̄)² / n | Средний квадрат отклонений от среднего | Квадраты исходных единиц |
| Среднее квадратичное отклонение | σ = √D | Типичный разброс значений около среднего | Те же, что у данных |
Сначала определите, какую характеристику требуется найти, а затем выберите соответствующую строку. В вычислениях полезно следить не только за числом, но и за единицами измерения. Если нужно сравнить показатель разброса с самими данными, обычно удобнее использовать среднее квадратичное отклонение.
Найди размах ряда 4, 7, 5, 9, 6. Нужно определить две крайние величины, потому что остальные значения в формулу размаха не входят.
Ответ: размах ряда равен 5.
Для ряда 1, 3, 5 найди среднее, отклонения от среднего и дисперсию. Сначала нужен центр ряда, затем — расстояния всех чисел от этого центра.
Ответ: среднее равно 3, отклонения равны −2, 0 и 2, дисперсия равна 8/3.
Для ряда 2, 4, 6, 8 найди размах, дисперсию и среднее квадратичное отклонение. После вычисления последних двух показателей полезно проверить связь σ² = D.
Ответ: размах равен 6, дисперсия равна 5, среднее квадратичное отклонение равно √5. Проверка: (√5)² = 5, то есть получилась исходная дисперсия.
При поиске размаха иногда вычитают наибольшее значение из наименьшего. Так получают отрицательное число, хотя ширина диапазона не может быть отрицательной. Выпишите крайние значения и всегда считайте xmax − xmin.
Некоторые складывают отклонения и делят сумму на их количество. Положительные и отрицательные числа компенсируются, поэтому результат может оказаться нулём даже при заметном разбросе. Проверьте, что перед сложением каждое отклонение возведено в квадрат.
Вместо числа всех значений иногда используют n − 1. Такое правило встречается в других статистических задачах, но в данном определении дисперсии сумму квадратов делят на n. Посчитайте элементы ряда и сверьте знаменатель с формулой.
Дисперсию ошибочно записывают в исходных единицах, например в сантиметрах. Квадраты отклонений дают квадратные единицы, а исходные единицы возвращаются только после извлечения корня. Проверка проста: у D и данных должны быть разные степени единицы измерения.
Для характеристик разброса нужно уметь находить среднее арифметическое, выполнять действия с дробями и извлекать квадратные корни. Эти навыки позволяют без ошибок пройти все этапы вычисления. Особенно внимательно следует работать со знаками отклонений.
Размах, дисперсия и среднее квадратичное отклонение дополняют среднее арифметическое. Два набора могут иметь одно и то же среднее, но разный разброс. Поэтому для сравнения данных рассматривают не только их центр, но и изменчивость.
Дальше эти понятия пригодятся в статистике и теории вероятностей. С их помощью описывают, насколько результаты наблюдений отклоняются от типичного значения. Чем больше характеристика разброса, тем сильнее значения различаются между собой.
Чем размах отличается от дисперсии?
Размах использует только наибольшее и наименьшее значения: это ширина диапазона данных. Дисперсия учитывает отклонение каждого значения от среднего и показывает общий разброс ряда.
Почему нельзя просто сложить отклонения от среднего?
Положительные и отрицательные отклонения при сложении взаимно уничтожаются. Поэтому их сумма всегда равна нулю или близка к нему и не показывает настоящий разброс.
Почему отклонения возводят в квадрат?
Квадрат делает каждое отклонение неотрицательным, поэтому противоположные отклонения уже не компенсируются. Кроме того, большие отклонения сильнее влияют на итоговую оценку разброса.
Как найти дисперсию числового ряда?
Сначала найдите среднее арифметическое ряда, затем вычислите отклонение каждого значения от среднего. Возведите отклонения в квадрат, сложите результаты и разделите сумму на число значений.
Чем среднее квадратичное отклонение удобнее дисперсии?
Дисперсия измеряется в квадратных единицах, поэтому её трудно сопоставлять с исходными данными. Среднее квадратичное отклонение возвращается к исходным единицам и понятнее показывает типичный разброс.
5.3. Характеристики разброса
