"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Перестановкой называют расположение всех заданных различных элементов в определённом порядке. Например, если поменять местами две книги в ряду, получится уже другое расположение. Чтобы узнать, сколько всего таких порядков можно составить для n элементов, используют факториал: n! = n · (n − 1) · … · 2 · 1. Эта формула помогает быстро считать варианты в задачах, где нужно расставить или упорядочить каждый элемент, а не выбрать только несколько.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Перестановка — это расположение всех данных различных элементов в определённом порядке. Например, ряд из книг А, Б, В можно составить как АБВ или БАВ. Если изменился порядок хотя бы двух книг, это уже другая перестановка; такое понятие нужно, когда порядок элементов имеет значение.
Факториал натурального числа n — произведение всех натуральных чисел от 1 до n, его обозначают n!. Например, 4! = 1 · 2 · 3 · 4. Эта короткая запись позволяет не выписывать длинное произведение каждый раз, когда мы считаем варианты расположения.
Число перестановок n различных элементов — количество способов расположить эти элементы в ряд; оно равно n!. Если элементов четыре, число порядков равно 4! = 24. Формула нужна, чтобы быстро находить общее количество расположений, не перечисляя их по одному.
Нулевой факториал — число 0!, которое по договорённости принимают равным 1. Хотя натуральных чисел от 1 до 0 нет, такое значение сохраняет согласованность формул с факториалами. Оно также соответствует одному способу расположить пустой набор: оставить его пустым.
Представим, что мы расставляем в ряд n разных элементов. На первое место можно поставить любой элемент, поэтому есть n вариантов. После выбора один элемент уже занял место, и для второго остаётся n − 1 вариант; затем остаётся n − 2 и так далее. На последнем свободном месте окажется единственный оставшийся элемент.
Чтобы получить общее количество рядов, нужно учитывать выбор на каждом месте. Для каждого варианта первого места существуют варианты второго, для каждой такой пары — варианты третьего. Поэтому по правилу умножения числа возможностей перемножают: n · (n − 1) · (n − 2) · … · 2 · 1. Если бы мы складывали эти числа, то считали бы отдельные этапы, а не все возможные последовательности выборов.
Произведение натуральных чисел от 1 до n обозначают n!, то есть «эн факториал». Такое обозначение удобно и компактно, особенно когда элементов много. Например, 5! означает 5 · 4 · 3 · 2 · 1, а не пять, умноженное само на себя. Факториал растёт быстро, потому что при увеличении n добавляется новый множитель.
Каждому способу расставить все элементы соответствует ровно один получившийся порядок, и каждый возможный порядок можно получить такой расстановкой. Значит, подсчёт способов выбора элементов по местам одновременно считает перестановки. Поэтому число перестановок n различных элементов равно n!. Здесь важно, что в каждом порядке участвуют все элементы и каждый встречается один раз.
Факториалы можно вычислять последовательно: сначала находить произведение, а затем использовать равенство n! = n · (n − 1)!. Например, 6! = 6 · 5!, поэтому, зная 5! = 120, получаем 6! = 720. Для завершения правила принимают 0! = 1. Формула полезна в задачах, где нужно упорядочить все элементы; если требуется выбрать только часть, считать нужно иначе.
В таблице собраны обозначения, смысл формул и небольшие примеры. Чтобы решить задачу, сначала проверь, что нужно расположить все элементы и что они различны, затем выбери подходящее правило. Значения факториалов удобно вычислять последовательно, используя уже найденный факториал меньшего числа.
| Понятие или запись | Что означает | Формула или правило | Пример |
|---|---|---|---|
| Перестановка n элементов | Порядок всех n различных элементов | Каждый элемент используется один раз | АБВ и БАВ — разные перестановки |
| Число перестановок | Количество таких порядков | n! | Для 3 элементов: 3! = 6 |
| Факториал | Произведение чисел от 1 до n | n! = n · (n − 1) · … · 1 | 4! = 24 |
| Вычисление факториала | Умножение или переход от меньшего факториала | n! = n · (n − 1)! | 5! = 5 · 4! = 120 |
| Нулевой факториал | Принятое значение факториала нуля | 0! = 1 | 1! = 1 · 0! = 1 |
Нужно поставить каждую книгу, а перестановка двух книг меняет порядок. Поэтому считаем варианты для каждого из четырёх мест. После каждого выбора книг для следующих мест становится меньше.
Ответ: 24 способа. Проверка смысла: ни одна книга не пропущена, и каждый возможный ряд посчитан один раз.
Обозначим двух учеников, которым нужно стоять вместе, как одну пару-блок. Тогда вместо пяти отдельных участников получаем четыре объекта: блок и ещё троих учеников. Сначала расставим эти объекты, а затем учтём, что внутри блока два ученика могут поменяться местами.
Ответ: 48 способов. Блок помогает выполнить условие о соседстве, а умножение на 2 не даёт забыть разные порядки двух учеников внутри пары.
По формуле число перестановок n различных элементов равно n!, поэтому нужно найти такое n, для которого n! = 720. Перебирать все варианты расположения элементов не требуется: достаточно последовательно вычислять факториалы. Для проверки удобно сравнить результат с соседними значениями.
Ответ: 6 различных элементов. Так мы определили количество элементов по числу их возможных порядков.
Иногда считают варианты только для первых мест и останавливаются, хотя перестановка должна включать все элементы. Такая ошибка возникает, если забыть, что требуется заполнить весь ряд. Проверь себя: каждый элемент должен встретиться ровно один раз, а в произведении должны быть учтены варианты для каждого места.
Другая ошибка — складывать варианты для разных мест вместо того, чтобы перемножать их. Выбор второго места продолжается для каждого выбора первого, поэтому возникают последовательности решений. Проверка простая: если на первом месте 3 варианта и для каждого есть 2 варианта второго, всего будет 3 · 2 = 6, а не 3 + 2.
Факториал иногда ошибочно принимают за n · n или за умножение n на какое-то одно число. На деле n! — произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Чтобы проверить вычисление, выпиши множители: например, 4! = 4 · 3 · 2 · 1, а не 4 · 4.
Наконец, нельзя считать одинаковые элементы различными и без проверки применять n!. Формула n! предназначена для разных элементов, поскольку перестановка двух одинаковых предметов не создаёт нового заметного порядка. Перед вычислением спроси себя, можно ли отличить каждый элемент от остальных; если нет, прямое применение формулы завысит ответ.
Для понимания перестановок нужно знать правило умножения при подсчёте вариантов: оно позволяет объединить выборы для нескольких последовательных мест. Также важно понимать, что значит упорядочить элементы и почему изменение порядка может дать новый результат. Позже этот способ подсчёта станет частью комбинаторики — раздела математики о количестве вариантов.
Перестановки пригодятся при изучении размещений и сочетаний. В перестановке используются все элементы, а в размещениях и сочетаниях рассматриваются выборы части элементов; при этом порядок может учитываться или не учитываться. Умение различать эти ситуации помогает выбрать правильную формулу для задачи.
Чем перестановка отличается от простого выбора нескольких элементов?
При перестановке нужно расположить все данные элементы, причём порядок важен. При выборе нескольких элементов часть может не попасть в результат, а порядок иногда не имеет значения.
Почему число перестановок равно n!, а не n в степени n?
На первое место можно поставить любой из n элементов, но после этого для второго остаётся только n − 1 вариант. Число вариантов уменьшается на каждом шаге, поэтому получается n · (n − 1) · … · 1, а не n одинаковых множителей.
Как быстро вычислить факториал числа?
Перемножь все натуральные числа от 1 до этого числа: например, 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120. Можно также использовать правило n! = n · (n − 1)!, если факториал меньшего числа уже известен.
Почему 0! принимают равным 1?
Это договорённость, которая делает формулу n! = n · (n − 1)! согласованной и при n = 1. Кроме того, есть ровно один способ расположить ноль элементов — ничего не менять.
Можно ли применять формулу n!, если среди элементов есть одинаковые?
Нет, формула n! считает элементы различными и даёт отдельный результат при перестановке любых двух из них. Если элементы одинаковы, некоторые перестановки не различаются, поэтому их нужно считать отдельно.
Перестановки
