Разложение на множители путём вынесения общего множителя за скобки

Определения и обозначения

Разложить выражение на множители — значит представить его в виде произведения нескольких выражений. Например, запись 6x + 9 = 3(2x + 3) заменяет сумму произведением. Такой вид часто удобнее для упрощения выражений и решения уравнений.

Общий множитель слагаемых — это множитель, который входит в каждое слагаемое выражения. В выражении 8a²b − 12ab² общими являются число 4, буква a и буква b. Поиск общего множителя показывает, что можно вынести за скобки.

Вынесение общего множителя за скобки — преобразование, обратное раскрытию скобок. Если при раскрытии получают ab + ac из a(b + c), то при вынесении общего множителя выполняют обратный переход. Поэтому результат легко проверить обратным действием.

Чтобы найти общий множитель, отдельно рассматривают числа и буквы. Числовую часть выбирают общим делителем коэффициентов, а для каждой общей переменной берут наименьшую степень. Такой выбор позволяет вынести всё, что действительно присутствует во всех слагаемых.

Как это устроено

Основа приёма — распределительное свойство умножения: ab + ac = a(b + c). Оно означает, что множитель a умножается на сумму b + c, а после раскрытия скобок получается сумма двух произведений. При вынесении общего множителя мы узнаём множитель a и восстанавливаем скобки.

Сначала находят множитель, общий для всех слагаемых. Затем каждое слагаемое делят на этот множитель, потому что в произведении вынесенный множитель должен восстановить исходное слагаемое. Полученные частные записывают в скобках в том же порядке и с теми же знаками.

В выражениях с числами и буквами общий множитель ищут по частям. Для коэффициентов находят общий делитель, а среди букв оставляют только те, которые есть в каждом слагаемом. Если переменная встречается в разных степенях, выбирают её наименьшую общую степень: например, для x³ и x² это x².

Знаки слагаемых тоже нужно учитывать. Если удобнее вынести отрицательный множитель, каждое слагаемое делят на него, поэтому положительное частное становится отрицательным, а отрицательное — положительным. Например, −6x + 9 = −3(2x − 3), а не −3(2x + 3).

Проверяют результат раскрытием скобок. Нужно умножить вынесенный множитель на каждый член скобок и убедиться, что получены все исходные слагаемые. Такая проверка обнаруживает пропущенную букву, неверную степень или ошибку в знаке.

Как вынести общий множитель за скобки

В таблице показано, на что смотреть при поиске общего множителя. Сначала сравните все слагаемые, затем разделите каждое на найденный множитель. В последнем столбце должны стоять именно частные от деления, а не исходные слагаемые.

Разбор задач

Задача 1. Разложить на множители 6x + 9. В обоих слагаемых есть общий числовой делитель, а буква x присутствует только в первом слагаемом. Поэтому общий множитель нужно искать среди чисел.

1. Находим наибольший общий делитель чисел 6 и 9: это 3.
2. Делим слагаемые на 3: 6x : 3 = 2x, 9 : 3 = 3.
3. Записываем частные в скобках: 6x + 9 = 3(2x + 3).

Ответ: 3(2x + 3). Проверка: 3 · 2x + 3 · 3 = 6x + 9.

Задача 2. Разложить на множители 8a²b − 12ab². Общими являются число 4, буква a и буква b; для букв берём наименьшие степени. Значит, общий множитель равен 4ab.

1. Находим общий числовой множитель: НОД(8, 12) = 4.
2. Для a сравниваем степени 2 и 1, поэтому выносим a; для b сравниваем степени 1 и 2, поэтому выносим b.
3. Делим слагаемые: 8a²b : 4ab = 2a, 12ab² : 4ab = 3b.
4. Учитываем знак второго слагаемого: 8a²b − 12ab² = 4ab(2a − 3b).

Ответ: 4ab(2a − 3b).

Задача 3. Разложить на множители −15x³y + 10x²y² − 5x²y. Общий числовой множитель равен 5, а общая буквенная часть — x²y. Выберем отрицательный множитель −5x²y, чтобы первый член в скобках получился положительным.

1. Берём −5x²y: число 5 является общим делителем, а наименьшие степени букв равны x² и y.
2. Делим слагаемые: −15x³y : (−5x²y) = 3x; 10x²y² : (−5x²y) = −2y; −5x²y : (−5x²y) = 1.
3. Получаем −15x³y + 10x²y² − 5x²y = −5x²y(3x − 2y + 1).

Ответ: −5x²y(3x − 2y + 1). Раскрытие скобок возвращает три исходных слагаемых, значит, разложение верно.

Типичные ошибки

Выносят множитель, которого нет в одном из слагаемых. Так происходит, когда проверяют только первые два члена. Нужно подставить найденный множитель в каждое слагаемое и убедиться, что деление выполняется без остатка.

Берут слишком высокую степень переменной. Например, из x³ и x² нельзя вынести x³, потому что второе слагаемое на него не делится. Сравните степени во всех слагаемых и выберите наименьшую.

Забывают изменить знаки после вынесения минуса. Ошибка появляется, когда минус воспринимают как отдельный знак, а не как множитель −1. Разделите каждое слагаемое на отрицательный множитель и проверьте знаки частных.

Переписывают в скобках исходные слагаемые. В скобках должны быть частные от деления каждого слагаемого на вынесенный множитель. Раскройте скобки: если исходные члены не восстановились, частное записано неверно.

Связь с другими темами

До изучения приёма нужны распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания, а также правила действий с одночленами. Они помогают находить коэффициенты, складывать показатели степеней и правильно раскрывать скобки.

Разложение на множители используется при решении уравнений: произведение может быть равно нулю, если хотя бы один его множитель равен нулю. Оно также делает алгебраические выражения короче и удобнее для вычислений.

Вынесение общего множителя подготавливает к другим способам разложения многочленов. Позже общий множитель часто выносят первым шагом, а затем применяют ещё один известный приём к выражению в скобках.

Что запомнить

• Вынесение множителя за скобки основано на распределительном свойстве.
• Общий множитель должен входить в каждое слагаемое.
• Числовой множитель выбирают общим делителем коэффициентов.
• Степень общей переменной не должна превышать наименьшую степень в слагаемых.
• При вынесении минуса знаки всех слагаемых в скобках меняются.
• Правильность разложения можно проверить раскрытием скобок.