Вынесение общего множителя за скобки

Определения и обозначения

Общий множитель — число, переменная или произведение, которое является множителем каждого слагаемого выражения. Например, в 6x + 9 общим множителем служит 3: и 6x, и 9 делятся на него. Поиск общего множителя показывает, какую часть можно вынести перед скобками.

Вынесение общего множителя за скобки — преобразование суммы или разности в произведение: общий множитель записывают перед скобками, а оставшиеся множители — внутри. Так, сумма 6x + 9 превращается в 3(2x + 3). Это действие помогает представить выражение удобнее для дальнейших вычислений.

Разложение многочлена на множители — представление многочлена в виде произведения выражений. Например, вместо суммы 6x + 9 можно записать произведение 3(2x + 3). Вынесение общего множителя — один из способов такого разложения, поэтому оно помогает увидеть строение многочлена.

Коэффициент — числовой множитель одночлена. В одночлене 8a² коэффициент равен 8, а в −12a — −12. При выборе общего множителя коэффициентов ищут число, на которое делится числовая часть каждого слагаемого; это позволяет вынести общую числовую часть.

Как это устроено

Вынесение множителя основано на распределительном свойстве умножения относительно сложения: ab + ac = a(b + c). Слева множитель a входит в оба слагаемых, поэтому его можно записать один раз перед скобками, а b и c оставить внутри. Преобразование работает и в обратную сторону: при раскрытии скобок a умножается на каждое слагаемое. Поэтому раскрытие скобок служит способом проверить результат.

Чтобы выбрать общий множитель, сначала сравнивают числовые коэффициенты и находят их наибольший общий делитель. Например, у 8 и 12 это число 4: оба коэффициента делятся на 4. Затем смотрят на буквенные части: в каждом слагаемом оставляют только общие переменные и выбирают для каждой наименьший показатель степени. Такая степень гарантированно содержится во всех слагаемых.

После выбора множителя нужно разделить на него каждое слагаемое без исключения. Полученные частные записывают внутри скобок в том же порядке, что и исходные слагаемые, сохраняя между ними знаки. Например, при делении второго слагаемого с минусом частное тоже останется отрицательным, если вынесенный множитель положителен. Проверить запись можно умножением вынесенного множителя на каждое слагаемое в скобках.

Иногда удобно вынести отрицательный множитель, например, чтобы первый член в скобках стал положительным. Тогда каждое слагаемое делят на этот отрицательный множитель, а не только на его числовую часть. Поэтому при делении знаки могут поменяться: −6x − 9 = −3(2x + 3). Если же второе слагаемое было отрицательным, его знак внутри скобок при делении на минус станет положительным.

Если общий множитель выбран полностью, в скобках обычно уже нет общего числового или буквенного множителя, который можно было бы вынести тем же способом. Это помогает убедиться, что разложение завершено именно для данного приёма. Впрочем, скобки иногда можно преобразовать дальше другим способом. В любом случае раскрытие скобок должно вернуть исходный многочлен.

Как вынести общий множитель

Пользуйся таблицей как образцом: сначала найди множитель, общий для всех слагаемых, а затем раздели на него каждое слагаемое. Частные и их знаки составляют выражение в скобках. Для проверки раскрой скобки и сравни результат с исходной строкой.

Разбор задач

Разложите на множители 6x + 9.

1. Коэффициенты слагаемых — 6 и 9; наибольший общий делитель равен 3. Переменная x есть не во всех слагаемых, поэтому выносить её нельзя.
2. Разделим каждое слагаемое на 3: 6x : 3 = 2x, 9 : 3 = 3. Запишем частные в скобках, оставив между ними знак плюс.
3. Получаем 6x + 9 = 3(2x + 3). При раскрытии скобок выходит 6x + 9, значит, преобразование выполнено верно.

Ответ: 3(2x + 3).

Разложите на множители 8a² − 12a.

1. Наибольший общий делитель коэффициентов 8 и 12 равен 4. Переменная a есть в обоих слагаемых, причём наименьшая степень — a¹, поэтому общий множитель равен 4a.
2. Делим первое слагаемое: 8a² : 4a = 2a. Второе слагаемое делим вместе со знаком: −12a : 4a = −3.
3. Записываем частные в скобках, сохраняя минус: 8a² − 12a = 4a(2a − 3). Проверка даёт 8a² − 12a.

Ответ: 4a(2a − 3).

Разложите на множители 15x³y² − 10x²y + 5x²y².

1. Наибольший общий делитель коэффициентов 15, 10 и 5 равен 5. Во всех слагаемых есть x² и y, поэтому общий буквенный множитель — x²y.
2. Общий множитель равен 5x²y. Делим первое слагаемое на него: получаем 3xy; второе: −2; третье: y.
3. Записываем частные в исходном порядке и сохраняем знаки: 15x³y² − 10x²y + 5x²y² = 5x²y(3xy − 2 + y). Раскрытие скобок возвращает все три исходных слагаемых.

Ответ: 5x²y(3xy − 2 + y).

Типичные ошибки

Можно вынести множитель не из каждого слагаемого. Так бывает, если проверить только первые члены или забыть последний член суммы. При раскрытии скобок тогда исходное выражение не получится. Для проверки умножь вынесенный множитель на каждый член внутри скобок.

Другая ошибка — разделить не все слагаемые полностью. Например, после выноса 2 из 6x + 4 запись 2(3x + 4) неверна: второе слагаемое внутри скобок тоже нужно разделить на 2. Проверь каждое частное отдельным делением и убедись, что внутри не остался общий множитель.

При вынесении отрицательного множителя легко потерять знак или поменять его только у одного слагаемого. Причина — внимание сосредоточено на числах, а знак воспринимается отдельно. Деление на минус меняет знак частного каждого слагаемого; раскрой скобки, чтобы проверить знаки.

Нельзя выносить переменную в степени выше, чем она входит хотя бы в одно слагаемое. Например, если есть x² и x, общий множитель по переменной — только x. Сравни показатели во всех слагаемых и выбери наименьший; затем проверь, что деление каждого члена на вынесенную степень возможно.

Связь с другими темами

Перед этой темой нужно знать распределительное свойство умножения и уметь раскрывать скобки. Именно оно объясняет, почему общий множитель можно вынести и как проверить преобразование обратным действием. Позже этот приём будет частью разложения многочленов другими способами: сначала выносят общий множитель, а затем при необходимости преобразуют выражение в скобках. Разложение на множители также используют при сокращении алгебраических дробей, когда числитель и знаменатель записаны как произведения.

Что запомнить

• Вынесение общего множителя основано на распределительном свойстве умножения.
• Общий множитель должен входить в каждое слагаемое.
• Числовой множитель выбирают общим делителем коэффициентов.
• Общую переменную выносят с наименьшим показателем степени.
• Каждое слагаемое в скобках — результат деления этого слагаемого на вынесенный множитель.
• Правильность разложения проверяют раскрытием скобок.