"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Сокращение дроби — это замена её равной дробью с меньшими числителем и знаменателем. Для этого числитель и знаменатель делят на один и тот же ненулевой общий множитель. В числовых дробях ищут общий делитель, а в дробях с буквами сначала при необходимости раскладывают выражения на множители. Сокращение упрощает вычисления, но нельзя забывать, что исходный знаменатель не должен быть равен нулю.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Дробь — это запись частного двух чисел или выражений: верхняя часть называется числителем, нижняя — знаменателем. Знаменатель не может быть равен нулю, потому что делить на ноль нельзя. Например, в дроби 3/5 число 3 — числитель, а 5 — знаменатель. Это различие помогает понять, какие части дроби нужно преобразовать.
Сокращение дроби — замена её равной дробью, у которой числитель и знаменатель меньше. Например, дробь 6/8 можно заменить дробью 3/4: обе дроби обозначают одно и то же число. Сокращение удобно, потому что с более простыми числами легче сравнивать дроби и выполнять вычисления. При этом значение дроби должно остаться прежним.
Общий делитель числителя и знаменателя — число, на которое оба делятся без остатка. Для сокращения выбирают общий делитель, отличный от нуля, например для 18 и 24 подойдёт 6. Если найти наибольший общий делитель, дробь часто удаётся сократить сразу до несократимого вида. Для буквенных выражений общим может быть не только число, но и буквенный множитель.
Дробь можно представить как частное числителя и знаменателя. Если оба разделить на одно и то же ненулевое число, значение частного не изменится: например, (a ÷ c)/(b ÷ c) равно a/b, если c ≠ 0. Это и есть применение основного свойства дроби. Деление на ноль запрещено, а деление на разные числа изменило бы отношение числителя к знаменателю.
Чтобы сократить числовую дробь, сначала находят число, на которое делятся и числитель, и знаменатель. Можно проверять делимость на небольшие числа или искать наибольший общий делитель, чтобы не делать несколько шагов подряд. Затем оба числа делят на найденный делитель. Например, если общий делитель равен 6, делить только числитель или выбирать для знаменателя другое число нельзя: равенство дробей сохранится лишь при одинаковом делении.
В дроби с буквами нужно найти множитель, который входит и в числитель, и в знаменатель. Например, в 12a/18a общие множители — 6 и a, поэтому после деления получаем 2/3. Но буквенный множитель a можно сократить только при a ≠ 0: при a = 0 исходный знаменатель 18a равен нулю, и дробь не определена. Значения, при которых знаменатель исходной дроби равен нулю, всегда исключают.
Общий множитель бывает незаметен, если числитель или знаменатель записан суммой либо разностью. Тогда выражение раскладывают на множители — представляют его как произведение. Например, x² − 9 можно записать как (x − 3)(x + 3), и общий множитель станет виден. Сокращать можно только одинаковые множители всего числителя и знаменателя, а не отдельные слагаемые внутри суммы.
Сокращение завершено, когда числитель и знаменатель не имеют общих делителей, кроме 1, и общих буквенных множителей, которые можно сократить при допустимых значениях переменной. Проверить это можно, разложив выражения на множители и сравнив полученные части. Если общий множитель остался, дробь можно упростить ещё. При проверке допустимых значений ориентируются на исходный знаменатель, а не только на результат сокращения.
| Вид дроби | Что найти | Действие | Пример результата |
|---|---|---|---|
| Числовая дробь | Общий делитель числителя и знаменателя | Разделить оба числа на него | 18/24 = 3/4 |
| Дробь с общим числовым множителем | Числовой множитель в числителе и знаменателе | Разделить оба множителя на общее число | 12·a/(18·a) = 2a/(3a) |
| Дробь с буквенными выражениями | Общий буквенный множитель | Сократить его при условии, что он не равен нулю | 6x/(9x) = 2/3, x ≠ 0 |
| Дробь, где общий множитель виден после разложения на множители | Одинаковый множитель в произведениях | Разложить выражения и сократить общий множитель | (x² − 9)/(x² + 6x + 9) = (x − 3)/(x + 3) |
Сначала определи, что записано в числителе и знаменателе: числа, произведения или суммы. Затем найди общий множитель и проверь, что он не равен нулю. В дробях с переменными отдельно запиши значения, при которых исходный знаменатель обращается в ноль.
Ищем число, на которое делятся оба числа без остатка. Наибольший общий делитель 18 и 24 равен 6, поэтому можно сократить дробь за один шаг.
Делим числитель и знаменатель на одно и то же число: 18/24 = (18 ÷ 6)/(24 ÷ 6) = 3/4. Проверяем результат: у 3 и 4 нет общего делителя, кроме 1.
Ответ: 3/4.
Сначала проверяем знаменатель исходной дроби: 18a не должен быть равен нулю. Значит, a ≠ 0; при этом условии общий буквенный множитель a можно использовать при сокращении.
Числовые коэффициенты 12 и 18 делятся на 6, а множитель a есть и сверху, и снизу. Делим числитель и знаменатель на 6a: 12a/18a = 2/3.
Проверяем, что исходное ограничение не потеряно. Полученная дробь 2/3 определена при любом a, но исходная запись не определена при a = 0, поэтому это значение остаётся запрещённым.
Ответ: 2/3, если a ≠ 0.
Сначала найдём, когда исходный знаменатель равен нулю. Разложение x² + 6x + 9 = (x + 3)² показывает, что знаменатель обращается в ноль при x = −3; это значение исключаем.
Разложим числитель по формуле разности квадратов: x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Теперь дробь имеет вид ((x − 3)(x + 3))/((x + 3)(x + 3)), и общий множитель x + 3 виден.
Сокращаем один общий множитель x + 3 и получаем (x − 3)/(x + 3). Сокращение разрешено только при x + 3 ≠ 0, что совпадает с ограничением, найденным по исходному знаменателю.
Ответ: (x − 3)/(x + 3), x ≠ −3.
Нельзя вычёркивать отдельные слагаемые, например x в выражении (x + 2)/x. Так ошибаются, принимая слагаемое за общий множитель всей суммы. Проверь себя: общий множитель должен входить во все слагаемые числителя и в знаменатель. Если его нет, сокращение не выполняют; сначала можно попробовать разложить выражение на множители.
Нельзя делить числитель и знаменатель на разные числа: например, заменить 12/18 на 4/3 делением верха на 3, а низа на 6. Такое действие меняет значение дроби, потому что основное свойство требует одного и того же делителя. Чтобы проверить шаг, запиши деление над обеими частями дроби и убедись, что делители совпадают и не равны нулю.
Нельзя сокращать дробь на ноль или делить на буквенный множитель, не проверив, может ли он обратиться в ноль. Ошибка возникает, когда переменную считают ненулевой без основания. Найди значения, при которых множитель равен нулю, и сравни их с условием, что знаменатель исходной дроби не равен нулю. Если значение запрещено, укажи это ограничение.
После сокращения нельзя забывать ограничения, которые возникли из исходного знаменателя. Например, после сокращения дроби (x + 3)/(x + 3) получается 1, но при x = −3 исходная дробь не была определена. Чтобы проверить себя, до сокращения реши уравнение «знаменатель = 0» и запиши недопустимые значения. Упрощённая запись не отменяет этого условия.
Для сокращения нужны основное свойство дроби и умение находить общие делители чисел. В дробях с буквами пригодятся правила разложения выражений на множители: вынесение общего множителя за скобки и формулы сокращённого умножения. Без этих навыков общий множитель может остаться незамеченным.
Сокращение используют при действиях с алгебраическими дробями, преобразовании выражений и решении уравнений. Оно помогает привести запись к более простому виду, чтобы дальше было легче вычислять или сравнивать выражения. При этом ограничения на переменные учитывают на протяжении всей работы.
Почему при сокращении дробь не меняет значения?
По основному свойству дроби её числитель и знаменатель можно умножить или разделить на одно и то же ненулевое число. Значение частного от этого не меняется, поэтому дробь остаётся равной исходной.
Можно ли сокращать дробь на любое число?
Нет, делить числитель и знаменатель нужно на одно и то же число, которое не равно нулю. Оно должно быть общим делителем числителя и знаменателя.
Почему нельзя сокращать слагаемые в числителе и знаменателе?
Сокращение основано на делении общих множителей, а слагаемые не являются множителями всей суммы. Сначала нужно разложить числитель и знаменатель на множители, если общий множитель не виден.
Что делать, если общий множитель не виден сразу?
Попробуй разложить числитель и знаменатель на множители. Для этого можно вынести общий множитель за скобки или применить формулы сокращённого умножения.
Нужно ли указывать ограничения на переменную после сокращения?
Да. Ограничения определяют по исходному знаменателю: он не должен быть равен нулю. Сокращение не делает допустимым значение переменной, при котором исходная дробь не была определена.
Сокращение дробей
