"Алгебра и начала математического анализа", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др.
Сочетания помогают посчитать, сколькими способами можно выбрать несколько разных объектов, если порядок выбора не важен. Их число вычисляют по формуле Cₙᵏ = n!/(k!(n−k)!). Те же числа становятся коэффициентами в разложении степени двучлена по формуле бинома Ньютона. Понимание связи между выбором объектов, сочетаниями и степенями слагаемых позволяет решать задачи на подсчёт и быстро находить нужные коэффициенты.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сочетание без повторений — выбор k различных элементов из n элементов, при котором порядок выбранных элементов не учитывается. Например, набор из Ани, Бориса и Веры остаётся тем же, как бы мы ни перечисляли имена. Это понятие подходит для ситуаций, где важен состав группы, а не последовательность выбора.
Число сочетаний — количество сочетаний без повторений из n элементов по k. Оно отвечает на вопрос, сколькими способами можно составить группу заданного размера. Так можно подсчитать, например, возможные команды или наборы вопросов.
Обозначение Cₙᵏ используют для числа сочетаний из n элементов по k. Его вычисляют по формуле Cₙᵏ = n!/(k!(n−k)!), где знак ! обозначает факториал: произведение всех натуральных чисел до данного числа, причём 0! = 1. Формула позволяет заменять перечисление всех групп коротким вычислением.
Бином Ньютона — формула разложения степени суммы двух выражений на сумму одночленов. Например, она показывает, как раскрыть скобки в выражении (a + b)ⁿ, не перемножая каждую скобку вручную. Коэффициенты членов разложения связаны с числами сочетаний.
В сочетании порядок не учитывается, потому что перестановка выбранных элементов не создаёт новую группу. Если выбираем трёх участников команды, состав из Ани, Бориса и Веры один и тот же при любом порядке перечисления. В размещении, напротив, порядок задаёт результат: назначение первого и второго призёров меняется, если участники поменялись местами. Поэтому перед выбором формулы нужно решить, различаются ли варианты после перестановки элементов.
Сначала можно посчитать упорядоченные выборки из k элементов: для первого элемента есть n возможностей, для второго — n−1 и так далее, всего n!/(n−k)!. Но каждый набор из k выбранных элементов встретится в подсчёте k! раз, потому что его элементы можно переставить. Чтобы получить число групп без повторного учёта, делим число упорядоченных выборок на k! и получаем Cₙᵏ = n!/(k!(n−k)!). Множитель (n−k)! появляется при сокращении факториала n!.
Выбрать k элементов — значит одновременно определить, какие n−k элементов останутся невыбранными. Каждой группе выбранных соответствует ровно одна группа оставшихся, поэтому число способов выбрать k элементов равно числу способов выбрать n−k. Отсюда следует равенство Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ. Это свойство удобно, когда проще вычислить сочетание с меньшим нижним индексом, например C₁₀⁸ = C₁₀².
В разложении (a + b)ⁿ первый член содержит наибольшую степень a и нулевую степень b, а затем показатель a уменьшается на единицу, а показатель b увеличивается. Поэтому общий вид члена — Cₙʳaⁿ⁻ʳbʳ, где r принимает значения от 0 до n. Показатели n−r и r в каждом члене складываются в n. Последний член содержит a⁰ и bⁿ.
При раскрытии произведения из n одинаковых скобок член с bʳ получается, если выбрать b ровно в r скобках, а a — в остальных. Число способов сделать такой выбор равно Cₙʳ, поэтому именно это сочетание становится коэффициентом члена бинома. Коэффициенты удобно находить по треугольнику Паскаля: каждая строка начинается и заканчивается единицей, а каждое внутреннее число равно сумме двух чисел над ним. Номер строки соответствует n, а элементы строки дают коэффициенты разложения.
| Элемент | Общий вид | Коэффициент | Пояснение |
|---|---|---|---|
| Число сочетаний | Cₙᵏ | n!/(k!(n−k)!) | Число способов выбрать k элементов из n без учёта порядка. |
| Первый член разложения | aⁿ | Cₙ⁰ = 1 | Здесь b имеет степень 0. |
| Произвольный член разложения | Cₙʳaⁿ⁻ʳbʳ | Cₙʳ | Индекс r задаёт степень b; показатели слагаемых в сумме дают n. |
| Последний член разложения | bⁿ | Cₙⁿ = 1 | Здесь a имеет степень 0. |
| Симметричные коэффициенты | Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ | Равны | Выбор k элементов задаёт и группу из n−k невыбранных. |
| Особые значения Cₙ⁰ и Cₙⁿ | Cₙ⁰ = Cₙⁿ = 1 | 1 | Можно выбрать ноль элементов или все n элементов только одним способом. |
Чтобы найти член разложения, сначала определите его индекс r по требуемой степени одного из слагаемых. Затем подставьте r в общий вид и возьмите коэффициент Cₙʳ. Для проверки посмотрите, что показатели степеней складываются в n, а первый и последний члены соответствуют r = 0 и r = n.
Здесь нужно выбрать три элемента из восьми, причём порядок выбора не важен. Подставим n = 8 и k = 3 в формулу числа сочетаний. Факториалы можно сократить до вычисления больших произведений.
Ответ: C₈³ = 56. Сокращение факториалов помогает не перемножать числа, которые затем всё равно сократятся.
Нужно сформировать группу из четырёх человек, а распределения мест или ролей нет. Поэтому перестановка выбранных учащихся не создаёт новую группу, и применяется число сочетаний. Сначала запишем модель задачи, затем вычислим значение.
Ответ: 210 способов. Если бы участникам назначали разные должности, порядок или назначение ролей имели бы значение, и модель задачи изменилась бы.
Для общего члена возьмём a = 2x, b = −3 и n = 7. Тогда член с индексом r имеет вид C₇ʳ(2x)⁷⁻ʳ(−3)ʳ, а степень x в нём равна 7−r. Приравняем этот показатель к четырём, чтобы найти нужный член.
Ответ: −15120. Отрицательный знак возникает потому, что степень отрицательного слагаемого равна трём, то есть нечётна.
Используют формулу размещений вместо сочетаний, не проверив, важен ли порядок. Так бывает, когда задачу сразу сводят к знакомой формуле, не уточняя смысл результата. Проверьте себя вопросом: изменится ли вариант, если переставить выбранные элементы? Если нет, нужны сочетания.
Забывают множитель k! или (n−k)! в формуле Cₙᵏ. Первый множитель убирает повторный учёт перестановок выбранных элементов, а второй появляется при сокращении факториала n!. Чтобы проверить запись, разложите n! до (n−k)! и сравните с формулой n!/(k!(n−k)!).
Неверно записывают общий член бинома: показатели не складываются до n или коэффициент берут с неправильным индексом. Причина часто в смешении индекса r и степени a. Подставьте r = 0 и r = n: должны получиться первый и последний члены, а показатели в каждом промежуточном члене должны дать сумму n.
Теряют знак в разложении (a − b)ⁿ, считая все члены положительными. Нужно помнить, что второй член — это −b, а его степень даёт множитель (−1)ʳ. Проверьте чётность r: при нечётном показателе знак отрицательный, при чётном — положительный.
Для изучения сочетаний полезно знать факториалы, перестановки и размещения без повторений: они объясняют, как устроена формула выбора и чем разные подсчёты отличаются друг от друга. Сочетания применяются в комбинаторных задачах и при вычислении вероятностей, когда нужно посчитать возможные группы исходов. Бином Ньютона позволяет раскрывать степени двучлена и связан с треугольником Паскаля. В частности, при небольших степенях он даёт знакомые формулы сокращённого умножения.
Чем сочетания отличаются от размещений?
В сочетании важен только состав выбранной группы, а порядок элементов не учитывается. В размещении порядок важен: например, выбор первых двух призёров отличается от выбора тех же людей в обратном порядке.
Почему в формуле сочетаний делят на k!?
При подсчёте упорядоченных выборок каждый набор из k элементов учитывается k! раз — по числу способов переставить выбранные элементы. Чтобы оставить каждый набор только один раз, число упорядоченных выборок делят на k!.
Как понять, какой коэффициент брать в биноме Ньютона?
Запишите общий член: Cₙʳaⁿ⁻ʳbʳ. Подставьте показатели слагаемых из нужного члена и выберите индекс r, который даёт требуемые степени; коэффициентом будет Cₙʳ.
Как найти коэффициент при заданной степени переменной?
Запишите общий член бинома, раскрыв каждое слагаемое с учётом его множителя. Затем приравняйте полученную степень переменной к заданной и найдите r; подставьте его в сочетание и учтите числовые множители и знак.
Почему в разложении (a - b)^n появляются знаки плюс и минус?
Формулу применяют к сумме a + (−b), поэтому степень второго слагаемого даёт множитель (−1)ʳ. При чётном r знак положительный, при нечётном — отрицательный, и знаки чередуются.
§ 5. Сочетания без повторений и Бином Ньютона
