"Алгебра и начала математического анализа", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др.
Размещение без повторений — это упорядоченный выбор нескольких различных элементов из множества. Оно используется, когда важны и состав выбранных элементов, и порядок их расположения: например, при распределении мест или назначении ролей. Число таких выборов находят по формуле Aₙᵏ = n!/(n − k)!, где n — число доступных элементов, а k — сколько из них выбирают.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Размещение без повторений — это упорядоченный выбор нескольких различных элементов из данного множества. Упорядоченный означает, что перестановка выбранных элементов меняет результат. Такое понятие нужно, когда элементы занимают разные места или получают разные роли.
Число размещений из n элементов по k обозначают Ank. Число n показывает, сколько элементов есть во всём множестве, а k — сколько из них выбирают и упорядочивают. Индексы помогают сразу понять исходные данные задачи.
Число размещений вычисляют по формуле Ank = n(n − 1)…(n − k + 1) = n!/(n − k)! при 0 ≤ k ≤ n. В произведении ровно k множителей: первый равен n, а каждый следующий на единицу меньше предыдущего. Условие k ≤ n отражает невозможность выбрать больше различных элементов, чем имеется.
Факториал числа n, записываемый как n!, — это произведение всех натуральных чисел от 1 до n: n! = 1 · 2 · 3 · … · n. По соглашению 0! = 1, чтобы формулы сохраняли общий вид и при выборе всех элементов. Факториалы позволяют компактно записывать длинные произведения.
Представим, что нужно заполнить k мест элементами из множества из n объектов. На первое место можно поставить любой из n элементов. После этого один элемент уже использован, поэтому на второе место остаётся n − 1 вариантов; запрет повторений и создаёт уменьшение числа возможностей.
На третьем месте будет n − 2 варианта, затем n − 3 и так далее. Последнее, k-е место можно заполнить n − k + 1 способами, потому что перед ним уже заняты k − 1 мест. Так возникает произведение n(n − 1)…(n − k + 1), в котором каждый множитель отвечает одной позиции.
Выборы выполняются последовательно, поэтому применяется правило умножения: если первый шаг можно выполнить n способами, второй — n − 1 способами и так далее, общее число результатов равно произведению этих чисел. Каждый результат уже содержит порядок элементов, ведь мы фиксируем, кто стоит на первом, втором и следующих местах. Поэтому произведение считает именно размещения, а не просто наборы.
Чтобы перейти к факториалам, допишем к произведению недостающие множители от 1 до n − k. Тогда всё произведение от 1 до n станет n!, а добавленная часть равна (n − k)!. Деление n! на эту часть оставляет нужные k множителей: Ank = n!/(n − k)!.
Если k = n, выбираются все элементы, и порядок задаёт перестановку: Ann = n!. Если k = 1, выбирается только один элемент, поэтому An1 = n. От сочетаний размещения отличаются тем, что два одинаковых набора в разном порядке считаются разными результатами.
| Вид выбора | Порядок важен | Сколько элементов выбирают | Число способов |
|---|---|---|---|
| Размещения без повторений | Да | k из n, k ≤ n | Ank = n!/(n − k)! |
| Перестановки | Да | Все n | Pn = n! |
| Сочетания без повторений | Нет | k из n, k ≤ n | Cnk = n!/(k!(n − k)!) |
Сначала определите, имеет ли значение порядок элементов в результате. Затем проверьте, выбираются все элементы или только часть множества. Например, распределение призовых мест требует размещений, а выбор участников команды без должностей — сочетаний.
Перестановки можно рассматривать как частный случай размещений: в них k = n. Таблица помогает не перепутать формулы и понять, какую именно модель подсчёта задаёт условие.
Условие. Из 8 учеников выбирают старосту и заместителя. Нужно найти число вариантов такого назначения. Роли различаются, поэтому один и тот же состав учеников может дать два разных результата.
Ответ: 56 вариантов. Использование сочетаний здесь было бы ошибкой, потому что назначение старостой и назначение заместителем неравноценны.
Условие. Составим трёхзначные числа из цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторений. Ноль отсутствует, поэтому любая выбранная первая цифра действительно образует трёхзначное число.
Ответ: 60 трёхзначных чисел. Формула размещений подходит, потому что выбираются три разные цифры и их порядок в числе важен.
Условие. Из 10 участников распределяют золотую, серебряную и бронзовую медали. Один участник не может получить сразу несколько медалей, а места имеют разное значение.
Ответ: 720 результатов. Сочетания не подходят: они выбрали бы только трёх участников, но не различили бы, кто занял первое, второе и третье место.
Не учитывать порядок. Так получают число сочетаний вместо размещений, потому что одинаковый состав ошибочно считают одним результатом. Проверьте себя: поменяйте местами выбранные элементы и спросите, изменился ли смысл назначения или результата.
Использовать nk. Эта формула разрешает выбирать один и тот же элемент повторно, поэтому она относится к размещениям с повторениями. Если повторять элементы нельзя, число вариантов на каждом следующем шаге должно уменьшаться.
Ошибиться в числе множителей или знаменателе. В произведении должно быть ровно k множителей, а факториальная запись имеет вид n!/(n − k)!, не n!/(n − k − 1)!. Полезно раскрыть формулу на небольшом примере и пересчитать множители вручную.
Применить формулу при k > n. Нельзя выбрать больше различных элементов, чем есть в исходном множестве. Перед вычислением сравните значения n и k; допустимый диапазон — 0 ≤ k ≤ n.
Для размещений нужно владеть правилом умножения: оно подсчитывает последовательные независимые этапы выбора. Каждый новый элемент задачи может соответствовать отдельной позиции, роли или месту.
Факториал и формула перестановок помогают записывать результат короче. При выборе всех элементов размещение становится перестановкой, поэтому Ann = n!.
Размещения подготавливают к изучению сочетаний и задач на вероятность. Главное различие между ними — учитывается ли порядок выбранных объектов в конечном результате.
Почему размещения считают упорядоченными выборами?
Потому что результат зависит не только от выбранных элементов, но и от их порядка. Например, назначение Петра старостой, а Ирины заместителем отличается от обратного назначения.
Чем размещения без повторений отличаются от размещений с повторениями?
В размещениях без повторений каждый элемент можно выбрать не более одного раза. В размещениях с повторениями один и тот же элемент разрешается использовать несколько раз, поэтому число вариантов равно nᵏ.
Как понять, нужно ли учитывать порядок в задаче?
Представьте два результата с одинаковыми выбранными элементами. Если перестановка этих элементов меняет смысл результата, порядок учитывать нужно, и подходят размещения. Если результаты не различаются, речь идёт о сочетаниях.
Почему в формуле размещений в знаменателе стоит (n − k)!?
В числителе n! есть все множители от 1 до n. Первые множители до n − k не входят в произведение размещений, поэтому их сокращают делением на (n − k)!.
Что получается, если выбрать все элементы множества?
Получается перестановка всех n элементов. Формула принимает вид Aₙⁿ = n!/(n − n)! = n!/0! = n!, поскольку 0! = 1.
§ 4. Размещения без повторений
