"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Размещение без повторений — это выбор нескольких разных элементов, при котором важен порядок: например, кто станет старостой, а кто заместителем. Такие размещения помогают считать упорядоченные выборы, когда один элемент нельзя использовать дважды. Число вариантов из n элементов по k обозначают Aₙᵏ и находят по формуле Aₙᵏ = n(n − 1)…(n − k + 1) = n!/(n − k)!. Если выбраны все элементы, размещение становится перестановкой.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Размещение без повторений — упорядоченный выбор нескольких различных элементов из данного множества. Например, если из класса выбирают старосту и заместителя, один и тот же ученик не может занять обе должности. Это понятие нужно, когда элементы распределяются по разным местам или ролям.
Число размещений из n элементов по k обозначают Aₙᵏ. Здесь n — общее количество элементов, из которых выбирают, а k — число мест, которые нужно заполнить. Обозначение помогает отделить число доступных объектов от числа выбранных и быстро записать формулу для подсчёта вариантов.
Факториал числа n, записываемый n!, — произведение всех натуральных чисел от 1 до n: например, 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. По соглашению 0! = 1, чтобы формулы с факториалами работали и в граничных случаях. Факториал удобен для краткой записи произведений последовательных чисел.
Перестановка — размещение, в котором используются все n элементов множества. Иными словами, это частный случай размещения при k = n, когда каждый элемент занимает одно из n мест. Понятие нужно, чтобы считать способы упорядочить весь набор объектов.
Представим k мест, которые надо заполнить различными элементами из n имеющихся. Для первого места подойдёт любой из n элементов. После его выбора он уже занят, поэтому для второго остаётся n − 1 вариант; для третьего — n − 2. Правило умножения говорит, что общее число способов равно произведению числа вариантов для каждого последовательного выбора.
Продолжая рассуждение, получаем Aₙᵏ = n(n − 1)(n − 2)…(n − k + 1). Последний множитель именно n − k + 1, потому что вместе с первым местом заполняются всего k мест. Чтобы записать произведение через факториалы, представим n! как n(n − 1)…(n − k + 1) · (n − k)!. При делении n! на (n − k)! одинаковые множители сокращаются, и остаётся формула Aₙᵏ = n!/(n − k)!.
Порядок учитывается потому, что места в размещении различаются. Если на двух местах стоят элементы А и Б, запись АБ означает не то же самое, что БА: первый элемент занимает другое место. Поэтому каждый набор выбранных объектов может дать несколько размещений, если их расположить по-разному.
Число мест k должно быть неотрицательным и не превышать число элементов n: 0 ≤ k ≤ n. При запрете повторений каждый выбранный элемент становится недоступным для следующих мест. Если k оказалось бы больше n, после использования всех элементов заполнить очередное место было бы нечем; поэтому такое размещение невозможно.
Если заполняют только одно место, число вариантов равно числу элементов: Aₙ¹ = n. Если используются все элементы, то Aₙⁿ = n!, поскольку для первого места есть n вариантов, для следующего n − 1 и так далее до одного. Именно этот случай называют перестановками, то есть способами расположить весь набор.
| Случай или характеристика | Смысл | Формула |
|---|---|---|
| Общий случай | Упорядоченный выбор k различных элементов из n | Aₙᵏ = n!/(n − k)! |
| Число размещений из n элементов по k | Заполняются k мест без повторений | n(n − 1)…(n − k + 1) |
| Выбор одного элемента | Одно место и n возможных элементов | Aₙ¹ = n |
| Используются все n элементов | Размещение становится перестановкой | Aₙⁿ = n! |
Сначала определите, сколько всего элементов есть и сколько мест заполняется: это n и k. Затем проверьте, важен ли порядок и запрещены ли повторы; при обоих условиях применяйте формулу размещений. Частные случаи помогают проверить вычисление: при одном месте ответ должен быть n, а при использовании всех элементов — n!.
Задача 1. Из 8 участников выбирают старосту и заместителя. Сколькими способами это можно сделать? Должности разные, поэтому просто выбрать пару недостаточно: нужно учесть, кто получит каждую должность. Один участник не может занять обе должности, значит, повторы запрещены.
Ответ: 56 способов. Здесь размещение подходит, потому что участники занимают разные роли, а значит, перестановка двух выбранных людей меняет результат.
Задача 2. Сколько четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0–9 без повторений? Первый знак не может быть нулём, иначе запись не будет четырёхзначным числом. Поэтому первую цифру выбираем отдельно, а затем последовательно заполняем остальные места.
Ответ: 4536 чисел. В этом примере первый множитель отличается от обычного A₁₀⁴ из-за отдельного ограничения на первую цифру.
Задача 3. Сколькими способами можно расставить на полке 5 разных книг, выбранных из 7? Места на полке упорядочены слева направо, поэтому перестановка книг меняет результат. Каждую книгу можно поставить только один раз.
Ответ: 2520 способов. Деление на 2! сокращает два последних множителя 7!, которые не входят в произведение для пяти мест.
Первая ошибка — считать порядок неважным и использовать число сочетаний. Её допускают, когда видят только набор выбранных людей или предметов и не замечают различий между ролями и местами. Проверьте, меняется ли результат при обмене двух элементов: если да, порядок важен и нужны размещения.
Вторая ошибка — разрешать один и тот же элемент на нескольких местах. Такое бывает, если автоматически считать, что каждый раз выбор делается из полного набора. Но в размещении без повторений уже выбранный объект исключается; проверьте, что числа вариантов идут на уменьшение.
Третья ошибка — применять nᵏ, будто на каждом месте доступно n вариантов. Это выражение соответствует ситуации, где выбор на каждом шаге не уменьшает набор вариантов. При запрете повторений запишите несколько первых множителей: n, n − 1, n − 2 — так сразу видно, почему nᵏ не подходит.
Четвёртая ошибка — неверно поставить знаменатель в формуле через факториалы, например записать n!/k!. Так теряется связь с числом неиспользованных элементов. Сверьте формулу с произведением n(n − 1)…(n − k + 1): в знаменателе должно быть (n − k)!, а после сокращения должны остаться ровно k множителей.
Для подсчёта размещений нужно знать правило умножения: оно позволяет перемножить число вариантов для последовательных мест. Понадобится и умение работать с факториалами, в том числе сокращать дроби вида n!/(n − k)!. Размещения помогают отличать упорядоченный выбор от сочетаний, где порядок не важен, и связаны с перестановками — их частным случаем. Эти идеи применяются в задачах на распределение ролей, составление кодов и расстановку объектов.
Чем размещение отличается от сочетания?
В размещении порядок выбранных элементов имеет значение, а в сочетании — нет. Например, выбор старосты и заместителя — размещение, а выбор двух представителей без распределения ролей — сочетание.
Почему в формуле размещений порядок учитывается?
Потому что каждое место или роль отличается от остальных. Если поменять элементы местами, получится другой упорядоченный выбор.
Почему число вариантов на каждом следующем месте уменьшается?
По условию повторять элементы нельзя. После каждого выбора один элемент уже занят, поэтому для следующего места остаётся на один вариант меньше.
Как понять, когда применять формулу A_n^k?
Проверьте, что выбираются k элементов из n и каждый используется не более одного раза. Если порядок или распределение по местам важны, подходит формула Aₙᵏ = n!/(n − k)!.
Почему перестановка является частным случаем размещения?
Перестановка — это размещение, в котором используются все n элементов. Поэтому в формуле берут k = n и получают Aₙⁿ = n!.
2. Размещения без повторений
