1. Логарифмическое дифференцирование

Определения и обозначения

Логарифмическое дифференцирование — способ найти производную функции, сначала прологарифмировав её, а затем продифференцировав полученное равенство. Иными словами, вместо прямого вычисления сложного выражения мы упрощаем его с помощью свойств логарифма. Это особенно полезно, когда в функции есть несколько множителей или переменный показатель степени.

Логарифмирование обеих частей — преобразование равенства y = f(x) в равенство ln|y| = ln|f(x)| на промежутке, где f(x) ≠ 0. Модуль позволяет записать логарифм и тогда, когда функция принимает отрицательные значения. Такое преобразование нужно, чтобы заменить сложную структуру функции более удобным выражением.

Логарифмическая производная — отношение y′/y, равное производной ln|y| при y ≠ 0. Она показывает, как производная функции соотносится с самой функцией, и часто проще вычисляется, чем y′ напрямую. Найдя это отношение, для получения обычной производной его умножают на y.

Как это устроено

Способ особенно удобен для произведений, частных и степеней, потому что свойства логарифмов упрощают их структуру. Логарифм произведения становится суммой логарифмов, логарифм частного — их разностью, а показатель степени можно вынести множителем. Поэтому при дифференцировании вместо громоздких правил для многих множителей обычно приходится складывать несколько простых выражений.

Чтобы получить y′/y, начинают с равенства y = f(x) и логарифмируют обе части: ln|y| = ln|f(x)|. Затем дифференцируют равенство по x; по правилу производной сложной функции левая часть даёт y′/y. Равенство позволяет вычислить логарифмическую производную через более удобную правую часть.

После дифференцирования логарифма найдено отношение y′/y, а не сама производная. Поэтому обе части результата умножают на исходную функцию y и получают y′. Этот шаг возвращает вычисление от упрощённого логарифмического выражения к производной той функции, с которой начинали.

Для функции с переменным основанием и показателем, например y = u(x)^v(x), при u(x) > 0 можно записать ln y = v(x)ln u(x). Логарифм степени превращает показатель в множитель, но теперь оба множителя зависят от x. Поэтому при дифференцировании произведения возникают два слагаемых: v′ln u и v·u′/u.

Перед вычислением нужно проверить область, где разрешены все преобразования. Для ln|y| требуется y ≠ 0, а для записи ln u — u > 0; кроме того, сама исходная функция должна быть определена. Если условия меняются в разных частях области, рассматривают отдельные промежутки, на которых можно корректно логарифмировать и дифференцировать.

Логарифмирование и дифференцирование выражений

Сначала выберите строку, соответствующую строению функции, и запишите логарифм с учётом произведения, частного или степени. Затем продифференцируйте полученное равенство и найдите y′/y. В конце умножьте результат на y и проверьте ограничения области определения.

Разбор задач

Задача 1. Найти производную y = xˣ при x > 0. Основание и показатель здесь оба зависят от x, поэтому правило для степени с постоянным показателем напрямую не подходит. Логарифмирование превращает степень в произведение, которое можно дифференцировать по известному правилу.

1. Прологарифмируем: ln y = x ln x. Условие x > 0 позволяет использовать ln x.
2. Дифференцируем обе части: y′/y = ln x + 1. Справа применяем правило производной произведения x·ln x.
3. Умножаем на y = xˣ: y′ = xˣ(ln x + 1).

Ответ: y′ = xˣ(ln x + 1), x > 0.

Задача 2. Найти производную y = (x² + 1)ˣ при тех x, для которых основание положительно. Выражение x² + 1 положительно при любом действительном x, но переменный показатель делает обычное правило степени неудобным. Логарифмируем, а затем учитываем производную и внешней функции, и произведения.

1. Записываем ln y = x ln(x² + 1). Основание x² + 1 > 0, так что логарифм определён.
2. Дифференцируем произведение: y′/y = ln(x² + 1) + x·2x/(x² + 1). Во втором слагаемом использовано правило производной сложной функции для ln(x² + 1).
3. Умножаем на y: y′ = (x² + 1)ˣ(ln(x² + 1) + 2x²/(x² + 1)).

Ответ: y′ = (x² + 1)ˣ(ln(x² + 1) + 2x²/(x² + 1)), x ∈ R.

Задача 3. Найти производную y = ((x + 1)²√(x² + 1))/(x² − 1)³ на промежутках, где функция определена и не равна нулю. Сначала нужно исключить x = −1 и x = 1: при этих значениях знаменатель обращается в ноль. На остальных промежутках числитель и знаменатель ненулевые, поэтому логарифмирование допустимо.

1. Логарифмируем, раскрывая произведение, частное и степени: ln|y| = 2ln|x + 1| + ½ln(x² + 1) − 3ln|x² − 1|. Модуль в логарифмах нужен для множителей, которые могут быть отрицательными.
2. Дифференцируем: y′/y = 2/(x + 1) + x/(x² + 1) − 6x/(x² − 1). Для последнего слагаемого применяем правило сложной функции к ln|x² − 1|.
3. Умножаем на исходную функцию: y′ = ((x + 1)²√(x² + 1))/(x² − 1)³ · (2/(x + 1) + x/(x² + 1) − 6x/(x² − 1)).

Ответ: указанная формула производной при x ≠ −1 и x ≠ 1.

Типичные ошибки

После дифференцирования ln|y| некоторые записывают полученное выражение как y′ и забывают множитель y. Так происходит, если не различать производную и логарифмическую производную. Проверьте последний шаг: из равенства y′/y = A следует y′ = yA.

Иногда пишут ln u(x), не проверив знак основания. В вещественных числах логарифм определён только для положительного аргумента, поэтому такая запись неверна при u(x) ≤ 0. Перед её использованием проверьте знак u на рассматриваемом промежутке или примените ln|u|, если это подходит.

Ещё одна ошибка — логарифмировать в точке, где исходная функция равна нулю или не определена. Причина обычно в том, что преобразование делают автоматически, не исследуя область допустимых значений. Проверьте исходное выражение и исключите точки, где знаменатель равен нулю или функция обращается в ноль.

В выражении u(x)^v(x) часто считают показатель постоянным и теряют слагаемое v′ln u. Это правило степени работает лишь при постоянном показателе, тогда как здесь нужно дифференцировать произведение v·ln u. Для проверки выпишите оба слагаемых: v′ln u и v·u′/u.

Связь с другими темами

Для логарифмического дифференцирования нужны свойства логарифмов: без них не получится упростить произведения, частные и степени. Также необходимо знать правила производной произведения и частного, а для выражений вроде ln(u(x)) — правило производной сложной функции. Эти знания вместе позволяют перейти от логарифмирования к вычислению y′/y.

Метод пригодится при дифференцировании сложных произведений, степенных выражений и функций с переменными основанием и показателем. Он не заменяет обычные правила производных, а помогает выбрать более короткий путь, когда исходная запись слишком громоздкая. После упрощения результат всё равно возвращают к исходной функции умножением на y.

Что запомнить

• При логарифмическом дифференцировании сначала преобразуют функцию, затем дифференцируют.
• Для y ≠ 0 производная ln|y| равна y′/y.
• После нахождения y′/y нужно умножить результат на y.
• Логарифм произведения превращается в сумму логарифмов.
• Логарифм степени превращается в произведение показателя на логарифм основания.
• Для ln u(x) необходимо условие u(x) > 0.