"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Показательные и логарифмические функции описывают процессы роста и изменения, а их производные и первообразные помогают исследовать такие процессы и вычислять интегралы. Особое место занимает экспонента eˣ: её производная равна самой функции. Для aˣ появляется множитель ln a, а производная ln x равна 1/x. Важно следить за областью определения и не терять постоянную интегрирования.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Число e — иррациональная математическая константа, приблизительно равная 2,718; её можно определить как предел (1 + 1/n)ⁿ при n → ∞. Показательная функция eˣ называется экспонентой. Это частный случай функции aˣ с положительным основанием, и именно для основания e формула производной особенно проста.
Для показательной функции y = aˣ, где a > 0, a ≠ 1, производная равна y' = aˣ ln a. Если основание равно e, то ln e = 1 и (eˣ)' = eˣ. Эти формулы позволяют находить скорость изменения показательных функций и далее строить для них первообразные.
Натуральный логарифм ln x — это логарифм числа x по основанию e, то есть ln x = logₑ x. Он определён только при x > 0, потому что показательная функция eˣ принимает лишь положительные значения. Натуральный логарифм нужен, в частности, чтобы выразить показатель степени через значение экспоненты.
Для x > 0 производная натурального логарифма равна (ln x)' = 1/x, а первообразная — ∫ln x dx = x ln x − x + C. Для логарифма по основанию a выполняется (logₐ x)' = 1/(x ln a), если a > 0, a ≠ 1 и x > 0. Эти формулы связывают дифференцирование и интегрирование обратных показательных и логарифмических функций.
По определению производной (eˣ)' = limₕ→₀ (eˣ⁺ʰ − eˣ)/h. Выносим eˣ за скобки: остаётся eˣ · limₕ→₀ (eʰ − 1)/h. Для последнего предела можно положить t = eʰ − 1, тогда h = ln(1 + t), и дробь становится t/ln(1 + t). Поскольку ln(1 + t)/t → 1 при t → 0, предел равен 1, и производная совпадает с eˣ.
Для произвольного положительного основания используем тождество aˣ = eˣˡⁿ ᵃ. Здесь показатель экспоненты — функция x ln a, производная которой равна ln a. По правилу дифференцирования сложной функции получаем (eˣˡⁿ ᵃ)' = eˣˡⁿ ᵃ · ln a, то есть (aˣ)' = aˣ ln a. Множитель ln a показывает, как скорость изменения зависит от выбранного основания.
Логарифм logₐ x обратен показательной функции aˣ: если y = logₐ x, то aʸ = x. Для натурального логарифма можно использовать обратную зависимость eʸ = x: дифференцирование по x даёт eʸ · y' = 1, а так как eʸ = x, то y' = 1/x. Для общего основания применяем logₐ x = ln x/ln a; знаменатель постоянный, поэтому производная равна 1/(x ln a).
Первообразную показательной функции можно проверить дифференцированием: производная aˣ/ln a равна aˣ ln a/ln a = aˣ. Поэтому ∫aˣ dx = aˣ/ln a + C, и деление на ln a компенсирует множитель, который появляется при производной. Для eˣ этот множитель равен 1, поэтому ∫eˣ dx = eˣ + C. Формулы применимы при a > 0, a ≠ 1.
Интеграл ∫ln x dx удобно вычислять по частям: ∫u dv = uv − ∫v du. Берём u = ln x, поскольку его производная 1/x упрощает выражение, а dv = dx, откуда v = x. Тогда получаем x ln x − ∫x · 1/x dx = x ln x − ∫1 dx = x ln x − x + C. Полученную первообразную можно проверить дифференцированием.
| Функция | Производная | Первообразная | Условия |
|---|---|---|---|
| eˣ | eˣ | eˣ + C | x ∈ ℝ |
| aˣ | aˣ ln a | aˣ/ln a + C | a > 0, a ≠ 1 |
| ln x | 1/x | x ln x − x + C | x > 0 |
| logₐ x | 1/(x ln a) | (x ln x − x)/ln a + C | a > 0, a ≠ 1, x > 0 |
| Добавление произвольной постоянной C | Производная C равна 0 | К любой первообразной прибавляют C | C — произвольное число |
В таблице производная показывает скорость изменения функции, а первообразная — функцию, производная которой равна указанной. Сначала проверьте условия: особенно область определения логарифма и допустимость основания a. Чтобы убедиться в первообразной, продифференцируйте её результат и проверьте, что получилась исходная функция.
У функции два слагаемых, поэтому дифференцируем их отдельно. Для 3ˣ используем формулу (aˣ)' = aˣ ln a, а для e²ˣ дополнительно применяем правило сложной функции: показатель равен 2x, его производная — 2. После нахождения обеих производных складываем результаты.
Ответ: y' = 3ˣ ln 3 + 2e²ˣ. Множитель ln 3 нельзя опускать, а множитель 2 возникает из производной показателя 2x. Это разные причины появления множителей в двух слагаемых.
Интеграл суммы можно разделить на сумму интегралов. Для 2ˣ подходит формула первообразной aˣ, а для 1/x — логарифм модуля. Последний выражен через ln|x|, поскольку подынтегральная функция определена и при x < 0, и при x > 0, но не при x = 0.
Ответ: 2ˣ/ln 2 + ln|x| + C, где x ≠ 0. Область определения разбита на два промежутка: x < 0 и x > 0, и на каждом постоянная интегрирования может быть своей. Запись ln x вместо ln|x| потеряла бы отрицательные значения x.
Здесь произведение x и ln x, поэтому применим интегрирование по частям. Логарифм удобно дифференцировать: он превращается в 1/x, а множитель x удобно интегрировать. Выбор даёт простое произведение x · 1/x внутри оставшегося интеграла.
Ответ: ∫x ln x dx = (x²/2)ln x − x²/4 + C при x > 0. Проверка производной даёт x ln x: производные двух слагаемых, не содержащих ln x, сокращаются. Условие x > 0 требуется из-за логарифма.
Ошибка: записать (aˣ)' = aˣ, забыв множитель ln a. Так переносят формулу для eˣ на любое основание, потому что обе функции выглядят похоже. Проверка простая: продифференцируйте представление aˣ = eˣˡⁿ ᵃ; множитель ln a обязателен, кроме случая a = e.
Ошибка: взять первообразную aˣ без деления на ln a. Причина в том, что коэффициент часто теряется при переходе от таблицы производных к интегралу. Проверьте ответ дифференцированием: у aˣ/ln a множитель ln a сократится, а у aˣ без деления останется лишний множитель.
Ошибка: применять (ln x)' = 1/x при x ≤ 0. Натуральный логарифм ln x там не определён, поэтому и производную этой функции нельзя использовать вне x > 0. Перед вычислениями найдите область определения исходного выражения и проверьте, входят ли в неё все рассматриваемые значения.
Ошибка: записать первообразную 1/x как ln x и забыть отрицательную полуось. Так поступают, вспоминая производную ln x, но не учитывая, что 1/x определена при всех x ≠ 0. Проверка показывает, что производная ln|x| равна 1/x и при x < 0; поэтому на промежутках по обе стороны от нуля нужна запись ln|x| + C.
Для освоения формул нужны определение производной, правило дифференцирования сложной функции и таблица производных степенных функций. Также необходимо помнить свойства показательных и логарифмических функций: логарифм и показательная функция с одним основанием обратны друг другу, а logₐ x = ln x/ln a. Это помогает выводить формулы, а не только заучивать их.
Производные показательных и логарифмических функций применяют при исследовании графиков, поиске промежутков возрастания и убывания и анализе скорости изменения. Первообразные используются при вычислении интегралов и решении задач математического анализа. Связь производной и интеграла позволяет проверять найденные результаты обратным действием.
Почему производная e^x совпадает с самой функцией?
По определению производной получается предел eˣ · (eʰ − 1)/h. При h → 0 дробь стремится к 1, поэтому остаётся eˣ. Основание e выбрано именно так, что этот предельный множитель равен единице.
Чем формула производной a^x отличается от формулы для e^x?
Для любого a > 0 производная равна (aˣ)' = aˣ ln a. Если a = e, то ln e = 1, и формула превращается в (eˣ)' = eˣ.
Почему в формуле производной log_a x появляется ln a?
Можно записать logₐ x = ln x / ln a. При дифференцировании ln a остаётся постоянным знаменателем, поэтому производная равна 1/(x ln a). Основание должно удовлетворять условиям a > 0 и a ≠ 1.
Какую формулу первообразной использовать для 1/x?
На промежутках, где x ≠ 0, первообразная функции 1/x имеет вид ln|x| + C. Модуль позволяет учесть как положительные, так и отрицательные значения x.
Как выбрать части при интегрировании ln x по частям?
Для интеграла ∫ln x dx удобно взять u = ln x, а dv = dx. Тогда du = dx/x и v = x, а интеграл сводится к x ln x − ∫1 dx = x ln x − x + C.
§ 3. Дифференцирование и интегрирование показательной и логарифмической функций
