"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Система и совокупность объединяют несколько уравнений, но задают разные условия. В системе нужно найти значения, при которых верны все уравнения одновременно; в совокупности достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно. Поэтому решения системы — общая часть корней отдельных уравнений, а решения совокупности — их объединение. Это различие помогает правильно разбирать сложные уравнения и случаи, когда возможны разные варианты.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система уравнений — несколько уравнений, которые должны выполняться одновременно. Иначе говоря, значения неизвестных подбирают так, чтобы каждое равенство стало верным. Такое условие нужно, когда ситуация описывается сразу несколькими требованиями.
Решение системы — набор значений неизвестных, обращающий в верные все уравнения системы. Для двух неизвестных это обычно пара чисел, например x = 3 и y = 2. Определение помогает отличить решение системы от корня только одного из её уравнений.
Совокупность уравнений — несколько уравнений, из которых достаточно выполнить хотя бы одно. Она описывает несколько возможных вариантов: подходит любой, который удовлетворяет одному из условий. Такая запись полезна, если задача распадается на случаи.
Решение совокупности — значение неизвестных, удовлетворяющее хотя бы одному уравнению совокупности. Одно значение может подходить сразу нескольким уравнениям, но для включения в ответ достаточно одного. Это определение подсказывает, что решения нужно собирать, а не отбирать только общие.
В системе каждое уравнение — отдельное обязательное условие. Поэтому значения, подходящие только одному из уравнений, не решают всю систему: остальные условия тоже должны быть выполнены. Например, если одно уравнение задаёт все точки на прямой, а второе — точки на другой прямой, решением системы будут только их общие точки.
Совокупность устроена иначе: она допускает выбор между условиями. Если значение выполняет хотя бы одно уравнение, остальные могут оказаться неверными — это не мешает ему быть решением совокупности. Так записывают ситуацию, в которой достаточно выбрать один подходящий вариант из нескольких.
Различие удобно передавать логическими словами и обозначениями. Систему читают как «и»: верно первое уравнение и второе, и каждое следующее. Совокупность читают как «или»: верно хотя бы одно из уравнений. При чтении записи сначала уточняй, требуется ли выполнить все условия или можно выбрать одно, иначе можно неверно составить ответ.
Чтобы решить систему, сначала находят решения каждого уравнения отдельно. Затем оставляют только те наборы значений, которые встречаются среди решений всех уравнений и удовлетворяют им одновременно. На языке множеств это пересечение: в ответ попадает элемент, общий для всех множеств решений.
Для совокупности также решают каждое уравнение отдельно, но затем не отбрасывают корни, которые не подошли к другим уравнениям. Все найденные значения объединяют, повторяющиеся записывают один раз. Проверка простая: достаточно подставить значение хотя бы в одно уравнение совокупности и убедиться, что получилось верное равенство.
| Свойство | Система | Совокупность |
|---|---|---|
| Логическое условие | «И»: должны выполняться все условия | «Или»: достаточно одного условия |
| Каким уравнениям должно удовлетворять решение | Каждому уравнению системы | Хотя бы одному уравнению совокупности |
| Как объединяются множества решений отдельных уравнений | Пересекаются: оставляют общие решения | Объединяются: собирают все решения |
| Как проверить найденный ответ | Подставить во все уравнения | Проверить хотя бы в одном уравнении |
При решении сначала определи, какое логическое условие задано: «и» или «или». Затем пользуйся соответствующим правилом для множеств — пересечением или объединением. В конце проверь полученный ответ подстановкой в исходные уравнения.
Нужно найти пару, которая одновременно удовлетворяет обоим равенствам. Удобно сложить уравнения: при этом y и −y взаимно уничтожатся. После нахождения одной переменной подставим её, чтобы определить вторую.
Складываем уравнения: (x + y) + (x − y) = 5 + 1, откуда 2x = 6 и x = 3.
Подставляем x = 3 в первое уравнение: 3 + y = 5, значит, y = 2.
Проверяем пару: 3 + 2 = 5 и 3 − 2 = 1. Оба равенства верны.
Ответ: x = 3, y = 2.
Здесь не нужно искать значение, общее для обоих уравнений: условие «или» позволяет подойти любому из них. Поэтому отдельно решим оба уравнения, а затем объединим найденные корни. Повторяющиеся значения, если они появятся, в ответе указывают один раз.
Из x² = 4 получаем x = −2 или x = 2, так как оба числа при возведении в квадрат дают 4.
Из x − 3 = 0 получаем x = 3.
Объединяем результаты двух уравнений: −2, 2 и 3.
Ответ: x ∈ {−2, 2, 3}.
Сначала решим исходную систему x² + y² = 25, y = 0, а затем сравним её решения по x с решением предложенной совокупности x = 3 или x = −3. Это покажет, что замена системы совокупностью меняет смысл условия, даже если обе записи содержат несколько уравнений.
Из второго уравнения системы сразу получаем y = 0. Подставляем в первое: x² + 0² = 25, значит, x² = 25.
Решаем уравнение: x = 5 или x = −5. Оба значения вместе с y = 0 удовлетворяют исходной системе.
В совокупности x = 3 или x = −3 решения по x равны 3 и −3. Эти числа не совпадают с 5 и −5, поэтому совокупность не сохраняет решения исходной системы.
Ответ: исходная система даёт x = −5 или x = 5; совокупность даёт x = −3 или x = 3. Условия неравносильны.
В системе иногда записывают все корни каждого уравнения по отдельности. Так поступают, когда принимают отдельное уравнение за всю задачу, но ответом могут быть только общие решения. Проверь каждую найденную пару подстановкой во все уравнения системы.
Для совокупности могут искать значения, которые подходят всем уравнениям сразу. Это происходит, если условие «или» по ошибке прочитано как «и», и подходящие только одному уравнению корни теряются. Чтобы проверить себя, убедись, что каждый ответ удовлетворяет хотя бы одному уравнению.
Ещё одна ошибка — объединить решения системы вместо пересечения множеств решений. Обычно она возникает из-за смешения двух правил: в системе нужно отобрать общие значения, а не собрать все найденные. Проверь, подходят ли записанные ответы каждому уравнению системы; если нет, объединение использовано неверно.
Наконец, найденные значения или пары иногда не проверяют в исходных уравнениях. После преобразований могут появиться посторонние решения, поэтому ответ, верный для изменённой записи, не всегда подходит первоначальному условию. Подстановка в исходные уравнения показывает, выполнены ли все условия системы или хотя бы одно условие совокупности.
Для работы с системами и совокупностями нужно уметь решать отдельные уравнения и находить множества их корней. Пересечение множеств описывает общие решения системы, а объединение — все решения совокупности. Эти понятия помогают не путать требования «и» и «или» при решении сложных уравнений и неравенств. Они особенно полезны, когда выражение разбирают по нескольким возможным случаям.
Чем система уравнений отличается от совокупности?
В системе должны одновременно выполняться все уравнения, поэтому ищут их общие решения. В совокупности достаточно выполнить хотя бы одно уравнение, поэтому собирают решения всех уравнений.
Что означает, что решение системы удовлетворяет всем уравнениям?
Это значит, что найденные значения неизвестных при подстановке превращают каждое уравнение системы в верное равенство. Если хотя бы одно равенство неверно, набор значений не является решением системы.
Почему для совокупности достаточно решить одно из уравнений?
Совокупность задаёт условие «или»: значение подходит, если выполняется хотя бы одно входящее уравнение. При этом оно может удовлетворять сразу нескольким уравнениям, но это не обязательно.
Как объединить решения нескольких уравнений совокупности?
Реши каждое уравнение отдельно, затем запиши все найденные значения без повторов. Это объединение множеств решений: значение включают в ответ, если оно найдено хотя бы в одном уравнении.
Зачем проверять найденные решения в исходных уравнениях?
Преобразования могут привести к значениям, которые не подходят первоначальным условиям. Подстановка в исходные уравнения позволяет проверить, что все условия системы или хотя бы одно условие совокупности действительно выполнены.
2. Системы и совокупности уравнений
