"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Равносильные системы уравнений имеют одно и то же множество решений, хотя записаны по-разному. Это понятие позволяет заменять исходную систему более удобной: складывать уравнения, подставлять выражения и исключать неизвестные. Главное — следить, чтобы преобразование не добавляло и не удаляло решения. Особую осторожность требуют деление, умножение на выражение и возведение в квадрат.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система уравнений — несколько уравнений с одними и теми же неизвестными, которые нужно выполнить одновременно. Обычно её записывают фигурной скобкой, чтобы показать общую задачу. Это нужно для отделения совместных условий от отдельных уравнений.
Решение системы уравнений — набор значений неизвестных, обращающий в верные все уравнения системы. Для двух неизвестных это, например, пара (x; y), а не значение только одной переменной. Определение сразу подсказывает способ проверки: подставить найденные значения в каждое уравнение.
Равносильные системы уравнений — системы с одним и тем же множеством решений. Их уравнения и внешний вид могут различаться, но ни одно решение не должно исчезнуть или добавиться. Понятие позволяет заменить неудобную систему более простой.
Равносильное преобразование системы — преобразование, после которого множество решений системы не изменяется. Обозначают равносильность знаком ⇔, если переход выполнен без потери и появления решений. Такой знак нельзя ставить автоматически после любой алгебраической операции.
Решение системы должно удовлетворять каждому уравнению одновременно, потому что каждое равенство задаёт отдельное условие задачи. Если пара подходит только к одному уравнению, она нарушает другое условие и не является решением системы. Поэтому при проверке достаточно обнаружить хотя бы одно неверное равенство, чтобы исключить пару.
Сравнение множеств решений приводит к понятию равносильности. Если две системы допускают одни и те же пары значений, их можно считать разными способами записи одной задачи. Это особенно полезно при решении: мы заменяем исходную систему на удобную, а затем переносим найденные решения обратно.
Перестановка уравнений не влияет на результат, потому что условия должны выполниться все, независимо от порядка их записи. Перемена мест неизвестных внутри равенства также сохраняет его смысл: равенство x + y = 5 имеет те же решения, что и y + x = 5. Главное, чтобы переменные были переставлены согласованно во всём уравнении.
Умножение обеих частей уравнения на ненулевое число сохраняет равенство: обратное действие — деление на тот же множитель. Если множитель может быть равен нулю, обратное действие уже не всегда возможно, а уравнение может потерять информацию. Поэтому при умножении на выражение сначала выясняют, где оно равно нулю, и отдельно рассматривают такие значения.
Чтобы исключить неизвестную, одно уравнение можно заменить его суммой с другим уравнением, умноженным на число. Если новая система также содержит второе исходное уравнение, исходное равенство восстанавливается вычитанием этого второго уравнения. Значит, переход обратим и сохраняет множество решений, что лежит в основе метода сложения.
В таблице перечислены действия, которые часто применяют при решении систем, и условия их безопасности. Если операция не является безусловно равносильной, ограничение нужно записать рядом с решением. После преобразований полезно подставить ответ в исходную систему.
| Преобразование | Что изменяется | Почему множество решений сохраняется | Условия и ограничения |
|---|---|---|---|
| Перестановка уравнений или неизвестных | Порядок условий или слагаемых | Все равенства и значения переменных остаются теми же | Перестановка неизвестных должна быть выполнена согласованно |
| Умножение обеих частей уравнения на ненулевое число | Коэффициенты и свободный член | Можно выполнить обратное деление на этот же множитель | Множитель не должен быть равен нулю |
| Замена уравнения равносильным ему уравнением | Форма записи одного условия | Новое уравнение имеет то же множество решений | Равносильность нужно доказать, особенно при возведении в квадрат |
| Прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на число | Коэффициенты неизвестных в одном уравнении | Сохраняем второе уравнение и можем выполнить обратное вычитание | Нельзя просто удалить исходное второе уравнение |
| Выражение неизвестного и подстановка в другое уравнение | Два уравнения заменяются одним уравнением с подстановкой | Значение выраженной переменной восстанавливается из первого равенства | Нужно учитывать область допустимых значений и ограничения при делении |
Решим систему x + y = 5, x − y = 1, предварительно выполнив равносильные преобразования. Коэффициенты при y противоположны, поэтому сложение уравнений удобно сразу исключает эту переменную. После нахождения одной переменной вторую восстановим из исходного уравнения.
Ответ: (3; 2). Сложение с сохранением исходных условий равносильно, потому что из новой пары уравнений можно восстановить каждое исходное равенство.
Решим систему 2x + 3y = 7, 4x − 3y = 5. Коэффициенты при y уже противоположны, поэтому менять уравнения или умножать их не требуется. Сложение позволит получить уравнение только с x.
Ответ: (2; 1). Проверка подтверждает, что найденная пара удовлетворяет обоим исходным уравнениям, а не только их сумме.
Решим систему √(x + 1) = y, x + y = 5. Перед возведением в квадрат замечаем, что левая часть неотрицательна, значит, y ≥ 0, а подкоренное выражение требует x + 1 ≥ 0. Эти ограничения нельзя терять при преобразовании.
Ответ: (3; 2). Корень x = 8 появился после возведения в квадрат, но не удовлетворяет исходному равенству, поэтому является посторонним.
Считать равносильными любые преобразования уравнений нельзя: операция может удалить или добавить решения. Такая ошибка появляется, когда обращают внимание только на красивый новый вид записи. Проверьте обратимость действия и сравните найденные пары с исходной системой.
Деление на неизвестное без проверки опасно, если оно может быть равно нулю. В этом случае нулевое решение теряется или действие вообще становится недопустимым. Сначала рассмотрите случай равенства делителя нулю, затем делите при явно записанном условии.
Возведение в квадрат может добавить посторонние решения, поскольку одинаковые квадраты имеют противоположные корни. Обычно забывают ограничение на знак правой части исходного равенства. После квадратирования подставьте каждый корень в первоначальное уравнение.
Получив решение преобразованной системы, нельзя сразу записывать ответ без контроля. Арифметическая ошибка или неравносильный переход останутся незамеченными. Подставьте каждую найденную пару во все уравнения исходной системы.
До изучения темы нужны понятия системы и её решения, равенства и преобразования уравнений. Без них трудно определить, какие значения проверять и почему операция сохраняет или меняет множество решений. Полезно уверенно выполнять преобразования выражений и работать с ограничениями.
Равносильность лежит в основе метода подстановки и метода сложения. С их помощью решают линейные системы, а при работе с корнями, степенями и дробями — также нелинейные системы. Каждый шаг этих методов должен быть обоснованным.
Та же идея встречается при преобразовании неравенств и уравнений с параметрами. Она нужна и при работе с выражениями, где есть области допустимых значений. Везде следует отличать обратное преобразование от действия, которое лишь даёт необходимое условие.
Чем равносильные системы отличаются от просто похожих систем?
Равносильные системы имеют абсолютно одинаковое множество решений. Похожая запись или одинаковый вид уравнений ещё не доказывают равносильность: нужно сравнить решения или обосновать преобразование, сохраняющее их.
Почему нельзя делить уравнение системы на неизвестное без отдельного рассмотрения случая его нулевого значения?
Если неизвестное равно нулю, деление на него невозможно. Кроме того, такая операция может потерять решения, поэтому сначала рассматривают случай нулевого значения, а затем делят только при условии, что неизвестное не равно нулю.
Всегда ли сложение двух уравнений системы является равносильным преобразованием?
Само по себе сложение уравнений обычно даёт только необходимое условие и может ослабить систему. Равносильным преобразованием считают замену одного уравнения его суммой с другим уравнением, если второе уравнение сохраняется и исходную систему можно восстановить.
Почему после возведения уравнения в квадрат могут появиться посторонние решения?
При возведении в квадрат выражения с разными знаками могут стать равными: например, 2 и −2 после операции дают одинаковые квадраты. Поэтому полученную систему нужно проверить в исходном уравнении и учесть ограничения на знаки.
Зачем проверять ответ в исходной системе, если все преобразования считались равносильными?
Проверка помогает обнаружить арифметическую ошибку или незамеченное неравносильное действие. Особенно необходима она после возведения в квадрат, деления на выражение и других операций с ограничениями.
3. Равносильные системы уравнений
