"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Метод исключения помогает решать систему уравнений, устраняя одну неизвестную и сводя задачу к уравнению с меньшим числом неизвестных. Для этого уравнения складывают, вычитают или предварительно умножают на числа, чтобы коэффициенты при выбранной неизвестной стали противоположными или равными. После решения полученного уравнения найденное значение подставляют в систему, а итоговую пару проверяют в исходных уравнениях: так можно заметить потерянные или посторонние решения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система уравнений — несколько уравнений с общими неизвестными; её решением называют набор значений, который подходит каждому уравнению сразу. Например, для двух неизвестных решением может быть пара чисел (x; y). Это понятие нужно, чтобы понимать: найти корень одного уравнения недостаточно — условия должны выполняться одновременно.
Исключение неизвестного — преобразование системы, после которого в одном из уравнений выбранная неизвестная не встречается. Так систему с двумя неизвестными можно свести к уравнению с одной. Это упрощает задачу: сначала находят одну величину, а затем восстанавливают вторую.
Равносильные системы — системы с одним и тем же набором решений. При решении важно переходить к системе, которая не теряет исходные решения и не добавляет новых. Если преобразование может нарушить это условие, найденные значения проверяют отдельно.
Линейная комбинация уравнений получается, когда уравнения умножают на числа и складывают или вычитают. Например, можно умножить одно уравнение на 2, а затем сложить его с другим. Такой приём меняет коэффициенты при неизвестных и помогает убрать выбранную переменную.
Идея метода состоит в том, чтобы превратить два слагаемых с одной неизвестной в противоположные. Тогда при сложении их сумма будет равна нулю, и неизвестная исчезнет. Например, выражения 3y и −3y взаимно уничтожаются, а остальные слагаемые образуют новое уравнение.
Если коэффициенты не равны и не противоположны, сначала подбирают множители для уравнений. Их выбирают так, чтобы коэффициенты при выбранной переменной стали равными по модулю: например, 2 и −3 можно превратить в 6 и −6. Умножать нужно обе части каждого уравнения, то есть все его слагаемые; иначе получится уже другое уравнение.
После сложения или вычитания обычно остаётся уравнение с одной неизвестной. Решив его, получают значение этой переменной и подставляют его в одно из исходных уравнений. Подстановка нужна, чтобы найти вторую переменную и получить полную пару, а не только часть решения.
Затем каждую найденную пару проверяют в обоих исходных уравнениях. Такая проверка позволяет обнаружить неверный знак или арифметическую ошибку, а также заметить, что преобразование добавило посторонние значения. Если пара не удовлетворяет хотя бы одному исходному уравнению, решением системы она не является.
В нелинейных системах способ исключения зависит от вида уравнений. Сложение может убрать противоположные слагаемые, а преобразование одного равенства — помочь найти сумму или произведение неизвестных. Но, например, возведение равенства в квадрат может привести к лишним вариантам, поэтому результат обязательно проверяют в исходной системе.
Пользуйся таблицей как кратким маршрутом: сравни коэффициенты, выбери действие, а после исключения неизвестной реши уравнение и вернись к исходной системе. Если коэффициенты пока не подходят, сначала умножь уравнения на подходящие числа. При подстановке не забывай найти и записать значение второй неизвестной.
| Ситуация в системе | Преобразование | Что исключается | Что сделать после |
|---|---|---|---|
| Коэффициенты при неизвестной противоположны | Сложить уравнения | Неизвестная с такими коэффициентами | Решить полученное уравнение и подставить результат |
| Коэффициенты при неизвестной равны | Вычесть одно уравнение из другого | Неизвестная с равными коэффициентами | Решить полученное уравнение и подставить результат |
| Коэффициенты не равны и не противоположны | Умножить уравнения на подходящие числа, затем сложить или вычесть | Выбранная неизвестная | Решить уравнение с одной оставшейся неизвестной |
| В одном уравнении неизвестная уже выражена через другую | Подставить выражение во второе уравнение | Неизвестная после подстановки | Найти её значение и восстановить значение исключённой неизвестной |
Задача 1. Решите систему: x + y = 7, x − y = 1.
Ответ: (4; 3).
Задача 2. Решите систему: 2x + 3y = 13, 5x − 2y = 4.
Ответ: (2; 3).
Задача 3. Решите систему: x + y = 5, x² + y² = 13.
Ответ: (2; 3), (3; 2).
Умножают на число только часть уравнения, а не все его слагаемые. Так делают, когда механически меняют отдельный коэффициент, забывая, что нужно сохранить равенство. Проверь себя: после умножения левая и правая части должны быть умножены на одно и то же число.
Складывают или вычитают уравнения, не проверив знаки коэффициентов. В результате выбранная неизвестная не исчезает, хотя ученик рассчитывал её исключить. Перед действием выпиши коэффициенты: противоположные дают ноль при сложении, а равные — при вычитании.
При подстановке теряют найденное значение исключённой неизвестной или неверно учитывают знак. Это часто случается, если значение получают только для одной переменной и считают решение завершённым. Запиши подстановку отдельно и проверь полученную пару в обоих уравнениях.
После нелинейного преобразования считают найденные пары автоматически допустимыми. Возведение в квадрат, например, может добавить решения, потому что оно не всегда сохраняет равносильность. Подставь каждую пару именно в исходные уравнения: неподходящие значения нужно отбросить.
Для метода исключения нужны навыки преобразования алгебраических выражений, решения линейных уравнений и подстановки выражений в уравнения. Если уверенно раскрывать скобки и следить за знаками, проще получить нужные коэффициенты и избежать ошибок при сложении.
Метод применяют к системам линейных и некоторым нелинейным уравнений. Он полезен и в задачах, где нужно найти значения, одновременно удовлетворяющие нескольким условиям: сначала устраняют одну переменную, а затем восстанавливают её по найденным данным.
Как понять, какую неизвестную удобнее исключать?
Посмотри на коэффициенты при каждой неизвестной: чаще удобнее та, для которой они уже равны или противоположны. Если такого варианта нет, выбирай неизвестную, для которой проще получить подходящие коэффициенты умножением.
Почему при сложении уравнений одна неизвестная исчезает?
Если коэффициенты при ней противоположны, например 3 и −3, при сложении они дают ноль. Поэтому соответствующие слагаемые взаимно уничтожаются.
На какие числа нужно умножить уравнения?
Выбирай числа так, чтобы коэффициенты при исключаемой неизвестной стали равными или противоположными. Например, коэффициенты 3 и −2 можно превратить в 6 и −6, умножив первое уравнение на 2, а второе на 3.
Можно ли исключать неизвестную из нелинейной системы?
Да, если подходящие преобразования позволяют убрать неизвестную или выразить нужные сочетания переменных. При возведении в квадрат и других преобразованиях, которые могут добавить решения, обязательно проверяй найденные пары в исходной системе.
Зачем проверять найденные пары в исходной системе?
Проверка показывает, удовлетворяют ли значения обоим исходным уравнениям. Она помогает обнаружить вычислительную ошибку, потерянный знак или постороннее решение, появившееся при преобразовании.
4. Метод исключения
