"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Метод алгебраического сложения помогает решать системы уравнений, исключая одну из переменных. Для этого уравнения складывают или вычитают; если коэффициенты при выбранной переменной не противоположны, уравнения предварительно умножают на подходящие числа. Получив уравнение с одной неизвестной, находят её, затем подстановкой определяют вторую и проверяют пару в исходной системе. Главное — выполнять преобразования со всеми членами уравнения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Метод алгебраического сложения — способ решения системы уравнений, при котором уравнения складывают или вычитают, чтобы исключить одну из переменных. Его применяют, когда после такого действия одно неизвестное исчезает и остаётся более простое уравнение. Метод особенно удобен, если коэффициенты при одной переменной уже противоположны или их легко сделать такими.
Равносильные системы — системы, имеющие одно и то же множество решений. Если переход от исходной системы к новой сохраняет все её решения и не добавляет посторонних, системы равносильны. Это понятие нужно, чтобы понимать, когда преобразования не изменяют ответ, а когда результат следует дополнительно проверить.
Исключение переменной — получение уравнения с одной переменной за счёт сложения уравнений системы с подходящими коэффициентами. Например, при сложении слагаемые 4x и −4x взаимно уничтожаются, и в результате остаётся уравнение только с y. Исключение превращает систему в задачу, которую можно решить обычными действиями с уравнениями.
Складывать уравнения допустимо потому, что общее решение системы удовлетворяет каждому из них одновременно. Если при некоторой паре значений верны равенства A = B и C = D, то верно и A + C = B + D. Значит, решение исходной системы обязательно удовлетворяет сумме уравнений. Само сложение может дать лишь следствие системы, поэтому после нахождения пары её проверяют в исходных равенствах.
Для начала выбирают переменную, которую проще убрать. Сравните коэффициенты при обеих неизвестных: если у одной переменной числа уже противоположны, достаточно сложить уравнения. Если ни одна пара не подходит, выберите ту, для которой коэффициенты проще привести к противоположным, например получить 6 и −6. Так обычно удаётся избежать громоздких чисел.
Чтобы подготовить коэффициенты, уравнение умножают на ненулевое число. Умножать нужно обе части равенства, а значит, каждый член: коэффициенты при переменных и свободный член. Например, из x + 2y = 5 при умножении на 3 получается 3x + 6y = 15. Ненулевое умножение не меняет множество решений уравнения, поскольку обратное действие — деление на то же число — восстанавливает исходное.
После подготовки коэффициентов уравнения складывают почленно. Противоположные слагаемые выбранной переменной дают ноль, поэтому она исчезает, а оставшееся уравнение содержит только одну неизвестную. Его решают обычным способом: раскрывают скобки, переносят слагаемые и находят значение переменной. Если коэффициенты не противоположны, сложение само по себе переменную не исключит — сначала нужно изменить их.
Найденное значение подставляют в одно из исходных уравнений, чтобы вычислить вторую переменную. Подстановка в исходное уравнение удобна тем, что в нём меньше риск перенести ошибку из промежуточных преобразований. Затем пару значений подставляют в оба исходных уравнения и проверяют равенства. Это подтверждает, что найденная пара действительно решает систему, и помогает заметить вычислительную ошибку.
| Этап | Что сделать | На что обратить внимание |
|---|---|---|
| Выбор переменной для исключения | Сравнить коэффициенты при неизвестных и выбрать более удобную переменную. | Оценить, какие коэффициенты проще сделать противоположными. |
| Подготовка коэффициентов умножением уравнений | Умножить одно или оба уравнения на подходящие ненулевые числа. | Умножить каждый член, в том числе свободный. |
| Сложение или вычитание уравнений | Сложить равенства почленно, чтобы выбранная переменная исчезла. | Следить за знаками и свободными членами. |
| Решение уравнения с одной переменной | Найти значение оставшейся неизвестной. | Аккуратно выполнить преобразования и вычисления. |
| Нахождение второй переменной и проверка | Подставить известное значение в исходное уравнение, затем проверить пару. | Проверить оба равенства исходной системы. |
Пользуйтесь таблицей как последовательностью действий: переходите к следующему этапу, когда предыдущий выполнен. Перед сложением проверьте коэффициенты и то, что множитель применён ко всем членам уравнения. В конце запишите обе координаты и подстановкой проверьте их в исходной системе.
Решим систему: x + 2y = 7, −x + y = 2. При x стоят коэффициенты 1 и −1, поэтому удобно исключить именно x. Сложим уравнения: слагаемые с x уничтожатся, и получится уравнение только с y.
Полученную пару проверим в исходных равенствах. Для первого уравнения 1 + 2 · 3 = 7, для второго −1 + 3 = 2. Оба равенства верны, поэтому ответ: (1; 3).
Решим систему: 2x + y = 7, 3x − 2y = 0. Коэффициенты при y равны 1 и −2, а не противоположны, поэтому сразу складывать уравнения невыгодно. Умножим первое уравнение на 2: тогда коэффициенты при y станут 2 и −2.
Проверяем пару (2; 3): 2 · 2 + 3 = 7, а 3 · 2 − 2 · 3 = 0. Значения удовлетворяют обоим уравнениям, следовательно, ответ: (2; 3). Множитель 2 применён ко всему первому уравнению, включая правую часть 7.
Решим систему: 2x + 3y = 13, 3x − 2y = 0. Коэффициенты при y — 3 и −2; чтобы получить противоположные числа, их удобно привести к 6 и −6. Для этого первое уравнение умножим на 2, а второе — на 3.
Проверяем в исходной системе: 2 · 2 + 3 · 3 = 13, а 3 · 2 − 2 · 3 = 0. Оба равенства выполняются, поэтому ответ: (2; 3). Здесь важно было умножить на 2 и на 3 все члены соответствующих уравнений, а не только коэффициенты при y.
Умножают только коэффициенты при переменных, забывая о свободном члене. Так происходит, когда внимание сосредоточено лишь на получении противоположных коэффициентов, но умножение применяют не к уравнению целиком. Например, 2x + y = 5 при умножении на 2 превращается в 4x + 2y = 10, а не в 4x + 2y = 5. Проверьте, что каждый член с обеих сторон равенства изменён одинаково.
Складывают уравнения, хотя коэффициенты выбранной переменной не противоположны. В таком случае переменная не исчезает, и система не упрощается до уравнения с одной неизвестной. Ошибка возникает, если принять любое сложение за достаточный шаг метода. Перед сложением отдельно просмотрите коэффициенты и убедитесь, что их сумма равна нулю.
При сложении теряют знак или неверно складывают свободные члены. Например, слагаемое −2y нельзя переписать как +2y, а сумму 5 + (−3) нельзя считать равной 8. Часто это случается при устном выполнении нескольких действий сразу. Запишите подготовленные уравнения одно под другим и складывайте соответствующие члены по столбцам.
Находят одну переменную и останавливаются, считая систему решённой. Но ответом служит пара значений, и одной координаты для неё недостаточно. Обычно вторую переменную забывают найти после решения уравнения с одной неизвестной. Подставьте найденное значение в исходное уравнение, вычислите второе, а затем проверьте оба равенства.
До применения метода нужно уметь преобразовывать линейные уравнения, решать их и выполнять действия с отрицательными числами. Метод алгебраического сложения связан с методом подстановки: оба сводят систему к уравнению с одной переменной, но подстановка выражает одну неизвестную через другую, а сложение устраняет её из уравнений. Навык пригодится при решении систем и при изучении более сложных способов их преобразования.
Почему можно складывать два уравнения системы?
Любое решение системы одновременно удовлетворяет обоим уравнениям. Если сложить их левые и правые части, равенство сохранится для такой пары значений. Поэтому сложение даёт уравнение, которому обязано удовлетворять решение системы.
Как понять, какую переменную удобнее исключить?
Посмотрите на коэффициенты при каждой переменной и выберите ту, для которой проще получить противоположные коэффициенты. Лучше, если они уже противоположны или для их получения нужны небольшие множители. Это уменьшает вычисления и снижает риск ошибки.
Можно ли умножать уравнение на отрицательное число?
Да, умножение обеих частей равенства на одно и то же ненулевое число сохраняет равносильность уравнения. Отрицательное число меняет знаки всех членов, включая свободный. Поэтому после умножения нужно внимательно переписать всё уравнение.
Что делать, если коэффициенты при переменной не противоположны?
Найдите число, на которое нужно умножить каждое уравнение, чтобы коэффициенты стали противоположными. Умножайте все члены уравнений, а затем сложите полученные равенства. Например, коэффициенты 2 и 3 можно превратить в 6 и −6.
Обязательно ли проверять найденную пару в исходной системе?
Да, проверка показывает, удовлетворяют ли обе координаты каждому исходному уравнению. Она помогает обнаружить ошибки со знаками, умножением или подстановкой. Особенно полезна проверка, если преобразования могли повлиять на допустимые значения переменных.
5. Метод алгебраического сложения уравнений
