3. Уравнения с разделяющимися переменными

Определения и обозначения

Дифференциальное уравнение — это уравнение, в котором неизвестная функция связана со своей производной. Например, если y зависит от x, то y′ = dy/dx обозначает производную функции y по аргументу x. Такая запись показывает скорость изменения y при изменении x. Дифференциальное уравнение помогает искать саму функцию, когда известен закон её изменения.

Уравнением с разделяющимися переменными называют уравнение вида y′ = f(x)g(y), где f зависит только от x, а g — только от y. Его особенность в том, что части с разными переменными можно разнести по разные стороны равенства. Это превращает задачу с производной в вычисление интегралов. Такой вид уравнения позволяет использовать таблицу первообразных.

Общее решение — семейство функций, удовлетворяющих уравнению и содержащих произвольную постоянную. Разные значения этой постоянной обычно дают разные функции, каждая из которых подходит исходному уравнению. Например, y = Ceˣ задаёт целое семейство при разных C. Общее решение описывает все возможные варианты, а не только один график.

Частное решение — одна функция из общего семейства, выбранная, например, по начальному условию. Условие задаёт значение функции при конкретном x, например y(0) = 2. Подстановка этого значения помогает найти постоянную и выбрать одну функцию из семейства. Так задача получает конкретный ответ, соответствующий заданным данным.

Как это устроено

Начинают с уравнения y′ = f(x)g(y) и заменяют производную записью dy/dx. Тогда равенство принимает вид dy/dx = f(x)g(y). Запись через дифференциалы удобна тем, что множители можно перемещать, сохраняя связь каждой переменной со своим дифференциалом. Это не просто сокращённая запись, а способ подготовить уравнение к интегрированию.

Если g(y) ≠ 0, делят обе части на g(y) и умножают на dx: dy/g(y) = f(x)dx. Теперь слева находится выражение только с y и dy, а справа — только с x и dx. Именно так переменные оказываются разделены. Условие g(y) ≠ 0 обязательно, потому что делить на ноль нельзя, а соответствующие случаи надо проверить отдельно.

После разделения интегрируют обе части: ∫dy/g(y) = ∫f(x)dx. Интегрирование нужно потому, что исходное уравнение задаёт производную, а требуется найти функцию. В результате получают первообразные с обеих сторон. Одну общую постоянную можно записать после одного из интегралов, поскольку разность двух произвольных постоянных тоже является произвольной постоянной.

Полученное равенство используют как общее решение. Иногда из него удаётся выразить y через x, а иногда решение удобнее оставить в неявном виде, например F(y) = G(x) + C. Неявная запись не означает, что решение неверно: она задаёт связь между переменными. Если дано начальное условие y(x₀) = y₀, подставляют x₀ и y₀ в общее решение и находят C, а затем записывают частное решение.

Отдельно проверяют значения y, при которых g(y) = 0. При делении на g(y) эти значения исключаются, хотя постоянная функция с таким значением может удовлетворять исходному уравнению. Для проверки подставляют y = a и y′ = 0 в начальное уравнение и смотрят, выполняется ли равенство при всех x. Если выполняется, это постоянное решение нужно добавить к найденным решениям.

Основные шаги решения уравнения с разделяющимися переменными

Двигайтесь по строкам таблицы сверху вниз: каждый следующий шаг использует результат предыдущего. Проверка значений, на которые делили, нужна даже тогда, когда общее решение уже найдено. Начальное условие применяют после интегрирования, чтобы выбрать конкретную функцию.

Разбор задач

1. Решить уравнение y′ = xy

1. Сначала разделим переменные, но пока предположим, что y ≠ 0. Записываем dy/dx = xy и переносим множители так: dy/y = x dx. Отдельно позже проверим случай y = 0, поскольку при делении на y он исключён.

2. Интегрируем обе части: ∫dy/y = ∫x dx. Получаем ln|y| = x²/2 + C. Чтобы выразить y, возводим e в степень и включаем знак и множитель в произвольную постоянную: y = Ce^(x²/2).

3. Проверим исключённый случай: для y = 0 производная равна нулю, а правая часть xy тоже равна нулю. Значит, нулевая функция является решением. Она уже получается при C = 0 в найденном семействе, поэтому итоговое общее решение имеет вид y = Ce^(x²/2).

Ответ: y = Ce^(x²/2), где C — произвольная постоянная.

2. Найти решение y′ = x(1 + y²), если y(0) = 0

1. Разделяем переменные: dy/(1 + y²) = x dx. Деление допустимо, так как 1 + y² положительно при любом действительном y. Левая часть содержит только y, правая — только x.

2. Интегрируем: ∫dy/(1 + y²) = ∫x dx. Используем формулы ∫dy/(1 + y²) = arctg y и ∫x dx = x²/2 + C. Поэтому arctg y = x²/2 + C.

3. Используем начальное условие y(0) = 0. Подстановка даёт arctg 0 = 0 + C, значит, C = 0. Тогда arctg y = x²/2, откуда y = tg(x²/2), пока выражение определено.

Ответ: y = tg(x²/2) на промежутке вокруг x = 0, где cos(x²/2) ≠ 0.

3. Решить y′ = (y − 1)(y + 2) и указать все постоянные решения

1. Для непостоянных решений, при которых y ≠ 1 и y ≠ −2, разделяем переменные: dy/((y − 1)(y + 2)) = dx. Дробь раскладываем на простые: 1/((y − 1)(y + 2)) = ⅓(1/(y − 1) − 1/(y + 2)). Такое разложение позволяет проинтегрировать левую часть.

2. Интегрируем: ⅓ ln|y − 1| − ⅓ ln|y + 2| = x + C. Умножаем на 3 и объединяем логарифмы: ln|(y − 1)/(y + 2)| = 3x + C₁. Это неявная запись общего решения для непостоянных решений; выражать y явно необязательно.

3. Поскольку при разделении делили на (y − 1)(y + 2), отдельно проверяем нули этого множителя. При y = 1 и при y = −2 производная равна нулю, как и правая часть уравнения. Поэтому обе постоянные функции являются решениями и должны быть добавлены к найденному семейству.

Ответ: ln|(y − 1)/(y + 2)| = 3x + C₁ для непостоянных решений; постоянные решения — y = 1 и y = −2.

Типичные ошибки

Делят на множитель с y и не проверяют, когда он равен нулю. Так можно потерять постоянные решения, например y = 1 или y = −2 в третьей задаче. Ошибка возникает потому, что деление воспринимают как безусловное преобразование. Перед ним найдите нули делителя и подставьте соответствующие значения в исходное уравнение.

При разделении переменных множители переносят не к той переменной и получают неверные дифференциалы. Например, из dy/dx = f(x)g(y) нужно получить dy/g(y) = f(x)dx, а не смешивать x и y в одной части. Такая ошибка часто появляется, если механически «переносить» выражения, не сверяя их зависимость. Проверьте, что слева остались только y и dy, а справа — только x и dx.

Забывают произвольную постоянную или добавляют её только к одной части равенства. Постоянная появляется при нахождении первообразной, поэтому без неё можно потерять часть решений. Иногда записывают по C у каждого интеграла, но затем не объединяют их. Сведите разность этих постоянных к одной новой произвольной постоянной.

Считают неявное уравнение ошибочным, если из него не удаётся выразить y. Однако связь F(y) = G(x) + C может задавать решение и без явной формулы. Ошибка возникает из-за привычки считать ответом только запись y = …. Проверьте, что полученное равенство следует из интегрирования и удовлетворяет исходному уравнению.

Связь с другими темами

Для решения нужны производная функции, правила дифференцирования и таблица первообразных. Разделение переменных применяют в простых дифференциальных уравнениях и задачах с начальным условием, где требуется найти функцию с заданным законом изменения. Поэтому тема связывает прямую задачу — вычисление производной — с обратной: восстановлением функции по её производной. Начальное условие помогает выбрать нужную функцию из общего семейства.

Что запомнить

• Типичный вид уравнения с разделяющимися переменными: y′ = f(x)g(y).
• Переменные разделяют так, чтобы выражения с y оказались при dy, а с x — при dx.
• После разделения интегрируют обе части.
• В общем решении присутствует произвольная постоянная.
• Начальное условие позволяет найти конкретное значение постоянной.
• Перед делением на выражение с y нужно проверить, не даёт ли его обращение в ноль отдельные решения.