4. Составление дифференциальных уравнений

Определения и обозначения

Дифференциальное уравнение — уравнение, связывающее неизвестную функцию, её аргумент и одну или несколько производных этой функции. Например, y′ = ky связывает функцию y от времени t с её производной y′. Такие уравнения нужны, когда условие описывает не только значение величины, но и закон её изменения.

Порядок дифференциального уравнения — наибольший порядок производной, входящей в уравнение. Уравнение y′ = ky имеет первый порядок, потому что в нём есть первая производная; уравнение x″ + kx = 0 имеет второй порядок, поскольку содержит вторую производную. Порядок помогает понять, какие данные могут понадобиться для описания конкретного процесса.

Неизвестная функция — величина, зависимость которой от аргумента требуется описать. Если изучают изменение количества вещества во времени, удобно обозначить его y(t); при движении обычно выбирают координату x(t). Выбор функции зависит от того, какую величину сообщает условие и изменение которой требуется выразить.

Начальное условие — заданное значение неизвестной функции или её производной при конкретном значении аргумента. Например, y(0) = y₀ задаёт начальное количество вещества, а x′(0) = v₀ — начальную скорость тела. Начальное условие не заменяет уравнение, а уточняет модель, выбирая начальное состояние процесса.

Как это устроено

Сначала выбери неизвестную функцию и её аргумент: аргумент должен соответствовать тому, по отношению к чему меняется величина. Количество вещества, температура и координата часто зависят от времени, поэтому их обозначают y(t), T(t), x(t). Такая запись сразу показывает, какую производную брать: например, T′ означает скорость изменения температуры именно со временем.

Словесное описание изменения переводят в математику через производную, потому что она измеряет скорость изменения функции по аргументу. Если y зависит от t, то y′ — скорость изменения y за единицу времени; при изменении положения тела x′ — его скорость. Поэтому фраза «скорость изменения равна…» должна задавать выражение для производной, а не для самой величины.

Условие «скорость изменения пропорциональна самой величине» означает, что скорость равна постоянному множителю, умноженному на текущую величину. Для y(t) получаем y′ = ky, где k — коэффициент пропорциональности, показывающий, насколько быстро величина меняется относительно своего значения. Знак k зависит от процесса: при росте он положителен, при убывании — отрицателен.

В уравнении движения ускорение связано с координатой двумя дифференцированиями по времени. Если координата тела равна x(t), то скорость — x′(t), а ускорение — x″(t). Поэтому, когда условие задаёт ускорение через скорость или координату, сначала запиши связь для ускорения, а затем замени его второй производной координаты.

Начальное значение добавляют отдельно, потому что один закон изменения может описывать разные процессы, начавшиеся в разных состояниях. Например, y′ = ky вместе с y(0) = y₀ указывает и правило изменения, и количество вещества в начальный момент. Для движения обычно задают координату и скорость: x(0) = x₀, x′(0) = v₀; вместе с уравнением они описывают конкретное начальное состояние.

Словесное условие и соответствующее дифференциальное уравнение

Сначала найди в таблице условие, совпадающее с описанием процесса, затем проверь, правильно ли выбрана функция и её аргумент. Буквы k, T₀ и a обозначают постоянные параметры модели; их смысл должен быть известен из условия. Если в задаче заданы начальные данные, запиши их отдельно от уравнения.

Разбор задач

Количество вещества y в растворе изменяется так, что скорость его изменения пропорциональна текущему количеству. Требуется составить дифференциальное уравнение. Обозначим время через t, поскольку именно с течением времени меняется количество вещества; коэффициент пропорциональности обозначим k.

1. Запишем неизвестную функцию: y = y(t), где y — количество вещества, а t — время.
2. Скорость изменения количества вещества выразим производной y′(t), так как производная показывает изменение y за единицу времени.
3. Переведём условие пропорциональности: скорость равна постоянному множителю k, умноженному на текущее количество y.

Полученное уравнение связывает количество вещества с тем, как быстро оно меняется. Значение и знак k определяются особенностями процесса: положительное k соответствует росту, отрицательное — убыванию. Ответ: y′ = ky.

Температура тела T со временем меняется со скоростью, пропорциональной разности между температурой окружающей среды T₀ и температурой тела. В начальный момент температура равна T₁. Требуется записать модель и начальное условие; разность дана именно в порядке T₀ − T, что влияет на знак.

1. Считаем температуру функцией времени: T = T(t), поэтому скорость её изменения равна T′(t).
2. Запишем пропорциональность указанной разности: T′ = k(T₀ − T), где k — коэффициент модели.
3. В условии задано значение при t = 0, поэтому отдельно запишем T(0) = T₁.

Если тело холоднее окружающей среды, T₀ − T положительна и при k > 0 температура растёт; если тело горячее, разность отрицательна и температура снижается. Такое поведение соответствует смыслу нагревания и охлаждения. Ответ: T′ = k(T₀ − T), T(0) = T₁.

Ускорение тела пропорционально координате x и направлено противоположно смещению. Начальные координата и скорость заданы значениями x₀ и v₀. Нужно составить уравнение движения и записать оба начальных условия, поскольку координата зависит от времени, а ускорение — вторая производная этой координаты.

1. Обозначим координату как x = x(t); скорость тогда равна x′(t), а ускорение — x″(t).
2. Пропорциональность координате даёт множитель k, а противоположное направление — знак минус: ускорение равно −kx, где k > 0.
3. Заменим ускорение второй производной и отдельно запишем начальные координату и скорость: x(0) = x₀, x′(0) = v₀.

Знак можно проверить: при x > 0 ускорение отрицательно, то есть направлено обратно положительному смещению. Начальная скорость задаётся производной координаты, поэтому её нельзя записывать вместо начальной координаты. Ответ: x″ = −kx, x(0) = x₀, x′(0) = v₀.

Типичные ошибки

Записывать скорость изменения как y, а не y′, — значит подменять скорость самой величиной. Так ошибаются, когда читают слово «скорость» как название величины, не учитывая, что речь идёт о том, как быстро она меняется. Проверь себя вопросом: «Что именно меняется и по какой переменной?» Если требуется скорость изменения y по времени, запись должна содержать производную y′.

Не указывать аргумент производной — значит потерять часть смысла модели: производная зависит от того, по какой переменной рассматривается изменение. Ошибка возникает, когда время, координату или другой аргумент считают очевидным и не называют. Подпиши функцию, например y(t), и поясни, что y′ — производная по t; тогда роли переменных и параметров легче проверить.

Неверный знак в уравнении может описать процесс, противоположный заданному. Обычно знак выбирают механически, забывая проверить направление изменения или ускорения. Подставь простой случай: при охлаждении тело горячее среды, поэтому T₀ − T < 0 и T′ должно быть отрицательным; при ускорении против положительного смещения x″ должно быть отрицательным.

Смешивать дифференциальное уравнение с начальным условием нельзя: первое задаёт закон изменения, второе — состояние в определённый момент. Ошибку допускают, когда записывают одно условие, например y(0) = y₀, и считают, что модель уже составлена. Проверь, есть ли в записи связь с производной; если её нет, это только начальное данное, а не закон изменения.

Связь с другими темами

Для составления дифференциальных уравнений нужно понимать производную как скорость изменения функции и уметь находить производные элементарных функций. Без этого нельзя связать словесное описание скорости или ускорения с математической записью. Также пригодится умение переводить пропорциональность и другие зависимости в алгебраические равенства. Такие модели применяются при описании движения, роста и убывания величин, теплообмена и других процессов.

Что запомнить

• Сначала выбери неизвестную функцию и её аргумент.
• Производная описывает скорость изменения функции по аргументу.
• Слова «пропорционально величине» переводятся в равенство с коэффициентом пропорциональности.
• Знак производной или старшей производной определяется смыслом условия.
• Начальные данные записываются отдельно от дифференциального уравнения.
• Каждый символ и параметр модели должен иметь смысл в исходной задаче.