§ 4. Степенная функция. Иррациональные выражения, уравнения и неравенства

Определения и обозначения

Степенная функция — функция вида y = x^α, где α — заданное действительное число. Её область определения зависит от α: например, при положительном целом показателе допустимо любое x, а при отрицательном целом нельзя брать x = 0. Это определение помогает понять, какие значения аргумента можно подставлять и какой график строить.

Арифметический корень n-й степени из неотрицательного числа a — неотрицательное число, n-я степень которого равна a. При чётном n подкоренное число должно быть неотрицательным, а результат корня также неотрицателен; при нечётном n подкоренное число может быть любым действительным. Это различие важно, чтобы верно задавать область определения и не путать корень с решениями уравнения.

Иррациональное выражение — выражение, в котором переменная находится под знаком корня. Его допустимые значения определяют по условиям существования корней, а также по ограничениям на другие операции, например деление на ноль. Найденное множество значений называют областью допустимых значений, или ОДЗ.

Иррациональное уравнение или неравенство — уравнение или неравенство, где переменная входит под знак корня. При решении учитывают ОДЗ и следят, сохраняют ли преобразования исходные решения. Это позволяет отсеять недопустимые значения и не принять посторонние корни за ответ.

Как это устроено

Показатель степени задаёт, сколько раз переменная участвует в умножении, но при дробных и отрицательных показателях смысл записи опирается на корень и деление. Для положительного целого α запись x^α определена при любом действительном x; отрицательный целый показатель означает обратную величину, поэтому x не может быть нулём. Для рационального показателя α = m/n связь с корнем зависит от чётности n: при чётном знаменателе основание в действительных числах ограничено. Так область определения следует из операций, которыми задаётся степень.

При чётном целом показателе противоположные аргументы дают один результат: xⁿ = (−x)ⁿ. Поэтому график симметричен относительно оси y, а значения не бывают отрицательными; функция убывает слева от нуля и возрастает справа. При нечётном показателе знаки x и xⁿ совпадают, график симметричен относительно начала координат, а функция возрастает на всей числовой прямой. Причина различий — в том, сколько отрицательных множителей входит в произведение.

Корень n-й степени обращает возведение в степень: ⁿ√a — число, степень которого равна a. Если n чётное, две противоположные величины имеют одинаковую n-ю степень, но арифметическим корнем по определению выбирают неотрицательную. Поэтому √[n]{xⁿ} = |x| при чётном n, тогда как при нечётном n √[n]{xⁿ} = x. Если n нечётное, отрицательное число допустимо под корнем: его нечётная степень остаётся отрицательной.

Возведение уравнения в степень может потерять равносильность, то есть изменить множество решений. Например, квадрат равенства сохраняет его истинность, но из равенства квадратов не следует равенство исходных выражений: числа могут отличаться знаком. Поэтому перед возведением в квадрат проверяют знак обеих частей, а после решения сверяют кандидатов с исходным уравнением. ОДЗ отсекает недопустимые значения, но сама по себе не гарантирует, что преобразование не добавило корней.

Решение обычно начинают с ОДЗ, чтобы не работать с выражениями, которые не имеют смысла. Затем корень изолируют и выбирают преобразование: для уравнения используют возведение в степень с последующей проверкой, а для неравенства дополнительно учитывают знаки сравниваемых частей. Если квадрат обеих частей допустим, он сохраняет порядок только при их неотрицательности. Разбиение на случаи помогает не пропустить значения, где одна часть отрицательна или меняет знак.

Свойства степенных функций и корней n-й степени

Сначала определите, рассматривается степень или обратная ей корневая функция, а затем найдите строку с нужной чётностью. По столбцам удобно проверить допустимые x, возможные значения y и форму графика. Для корней чётной степени дополнительно помните, что значение функции неотрицательно.

Разбор задач

Найти область определения выражения √(2x − 6) / (x − 5)

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: 2x − 6 ≥ 0, откуда x ≥ 3. Это условие необходимо, чтобы квадратный корень имел действительное значение.

2. Знаменатель не должен обращаться в ноль: x − 5 ≠ 0, то есть x ≠ 5. Теперь нужно совместить это ограничение с условием для корня, а не выбирать какое-то одно из них.

3. Из промежутка [3; +∞) исключаем число 5. В остальных его точках и корень определён, и знаменатель ненулевой.

Ответ: [3; 5) ∪ (5; +∞).

Решить уравнение √(x + 1) = x − 1

1. Подкоренное выражение требует x + 1 ≥ 0, то есть x ≥ −1. Левая часть неотрицательна, поэтому правая тоже должна быть неотрицательной: x − 1 ≥ 0, откуда x ≥ 1. Совместное условие — x ≥ 1.

2. На этой области обе части неотрицательны, значит, возведение в квадрат равносильно исходному уравнению. Получаем x + 1 = (x − 1)², или x² − 3x = 0. Разложение на множители даёт x = 0 или x = 3.

3. Проверяем кандидатов по условию x ≥ 1: число 0 ему не удовлетворяет. Подстановка x = 3 в исходное уравнение даёт √4 = 2, значит, равенство верно.

Ответ: x = 3.

Решить неравенство √(x + 1) > x

1. Для корня нужно x + 1 ≥ 0, поэтому ОДЗ: x ≥ −1. Разобьём её на случаи, поскольку знак правой части меняется при x = 0.

2. Если −1 ≤ x < 0, левая часть неотрицательна, а правая отрицательна. Следовательно, неравенство выполняется на всём этом промежутке без возведения в квадрат.

3. Если x ≥ 0, обе части неотрицательны, и можно возвести их в квадрат: x + 1 > x². Переносим всё в одну сторону: (x − (1 + √5)/2)(x − (1 − √5)/2) < 0. С учётом x ≥ 0 остаётся 0 ≤ x < (1 + √5)/2.

Ответ: [−1; (1 + √5)/2).

Типичные ошибки

Возводят уравнение в квадрат, не проверив знак правой части. Это допускают потому, что квадрат кажется обычным способом убрать корень, но он стирает информацию о знаке: равенство квадратов ещё не означает равенство выражений. Перед преобразованием потребуйте неотрицательности обеих частей, а в конце подставьте ответы в исходное уравнение.

Забывают ОДЗ при преобразованиях, например оставляют значение, при котором под корнем отрицательное число или знаменатель равен нулю. Часто ограничения находят только в конце, когда выражение уже преобразовано. Проверяйте ОДЗ до решения и пересекайте с ней множество полученных кандидатов.

Возводят обе части неравенства в квадрат без проверки знаков. Так поступают по аналогии с уравнением, хотя квадрат сохраняет порядок только для неотрицательных частей. Установите знаки на рассматриваемом промежутке или разделите ОДЗ на случаи и проверьте преобразование в каждом из них.

Считают, что под корнем чётной степени может стоять отрицательное число, либо забывают, что арифметический корень неотрицателен. Ошибка возникает из-за смешения корня с уравнением xⁿ = a, у которого при чётном n могут быть два корня. Сверяйте знак подкоренного выражения с чётностью корня, а знак значения корня — с определением арифметического корня.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны свойства степеней и арифметических корней, умение находить область определения функций и решать уравнения с неравенствами. Степенные функции и корни встречаются при изучении производной: их графики и поведение помогают исследовать функции. Преобразования иррациональных выражений пригодятся в более сложных задачах, где корни сочетаются с другими видами выражений и ограничений.

Что запомнить

• Для чётного корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
• Арифметический корень чётной степени неотрицателен.
• ОДЗ находят до преобразования иррационального уравнения или неравенства.
• Возведение уравнения в чётную степень может дать посторонние корни.
• В неравенстве перед возведением в квадрат нужно учитывать знаки обеих частей.
• Каждый найденный корень проверяют в исходном уравнении.