6*. Неравенства для логарифмической функции

Определения и обозначения

Логарифмическое неравенство — неравенство, в котором переменная входит в аргумент логарифма или его основание. В уравнении ищут значения, при которых две части равны, а в неравенстве — значения, при которых одна часть больше или меньше другой. Поэтому ответ обычно представляет собой промежуток или несколько промежутков.

Область допустимых значений (ОДЗ) — множество значений переменной, при которых выражения имеют смысл. Для логарифма аргумент должен быть положительным, а основание — положительным и не равным единице. ОДЗ нужна, чтобы не включить в ответ значения, при которых исходное неравенство не определено.

Монотонность логарифмической функции описывает, как меняется y = logₐx при увеличении x. Если a > 1, функция возрастает; если 0 < a < 1, убывает. Это свойство позволяет перейти от сравнения логарифмов к сравнению их аргументов.

Равносильное преобразование неравенства — переход к другому неравенству с тем же множеством решений. Например, умножая обе части на отрицательное число, нужно изменить направление знака. Понимание равносильности помогает проверять, не появились ли лишние решения при преобразованиях.

Как это устроено

Решение начинают с ОДЗ, потому что логарифм существует только при допустимых аргументе и основании. Для каждого аргумента записывают отдельное условие: он должен быть больше нуля. Если основание зависит от переменной, дополнительно записывают, что оно положительно и отлично от единицы; иначе дальнейшие преобразования могут опираться на несуществующий логарифм.

Когда логарифмы имеют одно и то же постоянное основание, их можно сравнить через аргументы. Причина в том, что логарифмическая функция при таком основании строго монотонна: она не меняет направление движения значений. При a > 1 функция возрастает, поэтому большее значение логарифма соответствует большему аргументу; при 0 < a < 1 функция убывает, и соответствие обратное.

Таким образом, при основании больше единицы знак неравенства сохраняется, а при основании между нулём и единицей меняется на противоположный. Например, из logₐu < logₐv при a > 1 следует u < v, а при 0 < a < 1 — u > v. В обоих случаях необходимо, чтобы u и v были положительными: без этого сравниваемые логарифмы не определены.

Если основания разные, правило сравнения аргументов напрямую неприменимо: монотонность зависит от каждого основания. Можно преобразовать логарифмы по формуле перехода к новому основанию, например logₐx = ln x / ln a. При этом знак ln a важен: если он отрицателен, умножение или деление на него меняет направление неравенства.

Переменное основание может быть то больше единицы, то меньше неё при разных значениях переменной, поэтому сначала делят числовую прямую на случаи a(x) > 1 и 0 < a(x) < 1. В каждом случае устанавливают направление сравнения и решают полученное неравенство вместе с условиями этого случая. В конце результаты пересекают с ОДЗ: так отбрасываются недопустимые значения, а границы, где основание равно единице, не попадают в ответ.

Как сравнивать логарифмы при одном основании

Сначала проверьте, к какой строке относится основание, и только потом переходите к сравнению аргументов. Условия на аргументы проверяются отдельно от самого неравенства. Если основание переменное, таблицу применяют в каждом случае отдельно.

Разбор задач

Задача 1. Решить неравенство log₂(x − 1) > 1.

1. Найдём ОДЗ: x − 1 > 0, значит, x > 1. Основание 2 допустимо и больше единицы.

2. Функция y = log₂x возрастает, поэтому знак сохраняется. Представим 1 как log₂2: получаем log₂(x − 1) > log₂2, откуда x − 1 > 2.

3. Решаем линейное неравенство: x > 3. Это условие уже удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: x > 3.

Задача 2. Решить неравенство log₁⁄₃(x + 2) ≤ log₁⁄₃(4 − x).

1. Запишем ОДЗ для обоих аргументов: x + 2 > 0 и 4 − x > 0. Значит, −2 < x < 4.

2. Основание ⅓ находится между нулём и единицей, поэтому логарифмическая функция убывает. При переходе к аргументам знак меняется: x + 2 ≥ 4 − x.

3. Решаем: 2x ≥ 2, то есть x ≥ 1. Пересекаем это условие с ОДЗ и получаем 1 ≤ x < 4.

Ответ: [1; 4).

Задача 3. Решить неравенство logₓ(x + 2) > 1.

1. ОДЗ требует x + 2 > 0 и одновременно x > 0, x ≠ 1. Условие x > 0 уже обеспечивает положительность аргумента, но основание всё ещё нужно разделить по отношению к единице.

2. При x > 1 логарифм возрастает. Поскольку 1 = logₓx, получаем x + 2 > x, что верно для любого x этого случая. Значит, подходят все x > 1.

3. При 0 < x < 1 логарифм убывает, поэтому из неравенства следует x + 2 < x. Это невозможно, так как после вычитания x остаётся 2 < 0.

4. Объединяем результаты двух случаев и проверяем ОДЗ: интервал x > 1 допустим, а x = 1 исключён из области определения.

Ответ: x > 1.

Типичные ошибки

Пропускают ОДЗ и сразу преобразуют логарифмы. Так в ответ могут попасть значения с нулевым или отрицательным аргументом, при которых исходное выражение не существует. Проверяйте себя: до решения выпишите условия для каждого аргумента и основания, а в конце пересеките с ними найденный ответ.

Не меняют знак при основании от 0 до 1. Это происходит, когда правило для возрастающей функции автоматически переносят на убывающую. Проверить себя можно на примере: log₁⁄₂2 = −1, а log₁⁄₂4 = −2 — большему аргументу соответствует меньшее значение логарифма.

Сравнивают аргументы при разных основаниях без предварительного преобразования. Это правило работает только при одинаковом основании, а у логарифмов с разными основаниями может быть разная монотонность. Перед сравнением проверьте основания: если они различны, используйте переход к общему основанию или другой допустимый способ.

Не разбивают решение при переменном основании на случаи относительно единицы. В результате знак может быть выбран неверно для части значений переменной. Проверяйте себя: отдельно выпишите случаи a(x) > 1 и 0 < a(x) < 1 и не забудьте исключить a(x) = 1 и a(x) ≤ 0.

Связь с другими темами

Для решения нужны определение логарифма, условия его существования и свойства возрастающих и убывающих функций. Эти знания объясняют, почему перед вычислениями находят ОДЗ и почему направление знака зависит от основания.

ОДЗ и полученные алгебраические условия часто сводятся к рациональным неравенствам. Здесь пригодятся метод интервалов и навыки объединения промежутков: с их помощью удобно находить совместные решения нескольких условий.

Логарифмические неравенства встречаются вместе с показательными выражениями и при исследовании функций. Умение правильно учитывать основание помогает сравнивать значения, определять допустимые промежутки и находить решения смешанных задач.

Что запомнить

• Аргумент логарифма должен быть положительным.
• Основание логарифма должно быть положительным и не равняться единице.
• При a > 1 функция y = logₐx возрастает.
• При 0 < a < 1 функция y = logₐx убывает.
• При переходе к аргументам знак сохраняется для a > 1 и меняется для 0 < a < 1.
• Если основание переменное, решение разбивают на случаи относительно единицы.
• Ответ обязательно пересекают с ОДЗ.