5. Упрощение иррациональных выражений

Определения и обозначения

Иррациональное выражение — это выражение, в котором есть корни, например √(x + 1) или 3√2 − 1. При работе с ним сначала проверяют область допустимых значений (ОДЗ) — значения переменных, при которых выражение имеет смысл. Для квадратного корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным, поэтому преобразование нельзя отделять от проверки условий.

Вынесение множителя из-под знака корня — замена корня произведения произведением корня и множителя. Например, √(a²b) = |a|√b, если b ≥ 0; модуль необходим, потому что квадратный корень неотрицателен. Этот приём позволяет отделить часть выражения, которую можно вычислить или объединить с другими слагаемыми.

Внесение множителя под знак корня — замена произведения множителя и корня одним корнем: a√b = √(a²b), если a ≥ 0 и b ≥ 0. Квадрат множителя появляется под корнем, чтобы значение выражения сохранилось. Условие на знак важно: отрицательный множитель сначала выносят за знак корня со знаком минус.

Освобождение от иррациональности в знаменателе, или рационализация знаменателя, — преобразование дроби, после которого знаменатель не содержит корня. Для этого дробь умножают на подходящее выражение, причём одинаковое в числителе и знаменателе. Рациональный знаменатель часто упрощает дальнейшие вычисления и сравнение выражений.

Как это устроено

Свойства квадратного корня применяют лишь там, где сами корни определены: например, в √a и √b нужны условия a ≥ 0 и b ≥ 0. Эти ограничения не формальность: если подкоренное выражение отрицательно, действительного значения корня нет. Кроме того, √(a²) = |a|, поскольку результат извлечения арифметического корня не бывает отрицательным; равенство √(a²) = a справедливо только при a ≥ 0.

Чтобы вынести множитель из корня, подкоренное выражение представляют как произведение полного квадрата и оставшейся части. Например, в √72 выделяют 36: √72 = √(36 · 2) = 6√2. Причина такого преобразования — свойство корня произведения: при неотрицательных множителях корень из произведения равен произведению корней. Если квадрат записан как переменная в квадрате, из него выходит модуль: √(x²) = |x|.

При внесении множителя под корень его возводят в квадрат, поскольку √(a²) = a только для неотрицательного a. Поэтому a√b можно заменить на √(a²b), если a ≥ 0 и b ≥ 0. Если множитель отрицательный, знак нельзя потерять: сначала записывают a√b = −|a|√b, а затем вносят |a| под корень, получая −√(a²b). Так знак исходного выражения остаётся верным.

В произведениях и дробях с корнями сначала ищут удобные множители под корнем: полный квадрат, общий множитель или числа, которые можно сократить. Например, √a · √b = √(ab) при a, b ≥ 0, а √a / √b = √(a/b) при a ≥ 0 и b > 0. Разложение на множители помогает упростить запись, но сокращать можно только общие ненулевые множители и с учётом ОДЗ. Корень при этом нельзя распределять по сумме или разности.

Чтобы рационализировать знаменатель √a, дробь домножают на √a: в знаменателе получается a. Если в знаменателе сумма a + √b, используют сопряжённое выражение a − √b. Их произведение равно a² − b по формуле разности квадратов, поэтому корень исчезает; домножать при этом нужно и числитель, и знаменатель, чтобы значение дроби не изменилось.

Основные приёмы упрощения выражений с корнями

Сначала проверьте условия применимости формулы, затем выберите преобразование, которое делает выражение проще. После вынесения множителей объединяйте только одинаковые радикалы, а после сокращения или рационализации сверяйте ОДЗ исходной записи.

Разбор задач

Задача 1. Упростить √72 − 2√8. Здесь оба подкоренных числа содержат полный квадрат, поэтому сначала преобразуем каждый корень отдельно. Затем сравним получившиеся радикалы: одинаковые корни можно вычитать как подобные слагаемые.

1. Выделим квадраты: 72 = 36 · 2, а 8 = 4 · 2.
2. Вынесем корни из квадратов: √72 = 6√2, √8 = 2√2.
3. Подставим: 6√2 − 2 · 2√2 = 6√2 − 4√2 = 2√2.

Ответ: 2√2. Перед объединением радикалов нужно привести каждый из них к одному и тому же виду.

Задача 2. Упростить √(x² − 6x + 9) при всех допустимых значениях x. Подкоренное выражение похоже на квадрат двучлена: это позволяет применить правило для корня из квадрата. После выделения квадрата останется модуль, который надо раскрыть с учётом знака выражения внутри него.

1. Разложим трёхчлен: x² − 6x + 9 = (x − 3)².
2. Извлечём корень правильно: √((x − 3)²) = |x − 3|.
3. Если нужно записать без модуля, рассмотрим знак x − 3: при x ≥ 3 получаем x − 3, при x < 3 — 3 − x.

Подкоренное выражение — квадрат, поэтому оно неотрицательно при любом x; ОДЗ — все действительные числа. Ответ: |x − 3|, или x − 3 при x ≥ 3 и 3 − x при x < 3.

Задача 3. Упростить дробь (√5 + 1)/(√5 − 1). В знаменателе стоит разность, содержащая корень. Чтобы убрать его, умножим дробь на сопряжённую знаменателю сумму, одновременно в числителе и знаменателе.

1. Домножим на (√5 + 1)/(√5 + 1); это дробь, равная единице, поэтому значение не меняется.
2. В знаменателе используем разность квадратов: (√5 − 1)(√5 + 1) = 5 − 1 = 4.
3. В числителе раскроем скобки: (√5 + 1)² = 5 + 2√5 + 1 = 6 + 2√5.
4. Получим (6 + 2√5)/4 = (3 + √5)/2.

Первоначальный знаменатель не равен нулю, а полученный знаменатель равен 4. Ответ: (3 + √5)/2.

Типичные ошибки

Подменять √(a²) выражением a без проверки знака — ошибка: при a < 0 результат должен быть положительным и равен |a|. Её допускают, забывая, что квадратный корень задаёт неотрицательное число. Проверка простая: подставьте отрицательное значение, например a = −2; √(a²) = 2, а не −2.

Нельзя разносить корень по сумме или разности и писать √(a + b) = √a + √b. Такое правило неверно, хотя для произведения при нужных условиях оно работает; путаница возникает из-за смешения свойств. Проверьте равенство на числах: √(1 + 3) = 2, тогда как √1 + √3 = 1 + √3.

Вносить отрицательный множитель под корень без изменения знака нельзя: формула a√b = √(a²b) требует a ≥ 0. Ошибка появляется, когда забывают, что возведение множителя в квадрат стирает его знак. Для проверки сравните выражения при a = −1 и b = 1: слева получится −1, справа — 1; значит, перед корнем нужен минус.

При рационализации нельзя домножать только знаменатель: тогда изменится значение дроби. Обычно так делают, сосредоточившись на устранении корня и забыв о равносильности преобразования. Убедитесь, что один и тот же ненулевой множитель записан и сверху, и снизу; тогда дробь умножена на единицу и её значение сохранено.

Связь с другими темами

Для преобразований с корнями нужны знания об области определения квадратного корня, свойствах степеней и формулах сокращённого умножения. Без них трудно правильно выделять полный квадрат, сохранять знак при извлечении корня и подбирать сопряжённое выражение. Поэтому полезно повторить, почему √(a²) = |a| и как работает разность квадратов.

Упрощение радикалов помогает приводить выражения к удобному виду перед решением уравнений и неравенств. Оно также используется при вычислении пределов и исследовании функций, когда нужно преобразовать дробь или определить область допустимых значений. Аккуратное упрощение делает дальнейшие вычисления короче и помогает не потерять ограничения на переменные.

Что запомнить

• Подкоренное выражение квадратного корня должно быть неотрицательным.
• √(a²) = |a|.
• Множитель можно вынести из-под корня, выделив под ним полный квадрат.
• Вносить множитель под знак корня без изменения знака можно при неотрицательном множителе.
• Корень из суммы в общем случае не равен сумме корней.
• Знаменатель рационализируют, домножая числитель и знаменатель на одно и то же выражение.
• Для суммы a + √b сопряжённым выражением служит a − √b.