6. Уничтожение иррациональности в знаменателе или в числителе

Определения и обозначения

Уничтожение иррациональности — преобразование дроби, после которого в выбранной её части, числителе или знаменателе, не остаётся корней. Например, знаменатель √3 можно заменить числом 3, умножив дробь на подходящее выражение. Приём нужен, чтобы дробь было удобнее сравнивать, сокращать и использовать в дальнейших вычислениях. Выбор того, какую часть упростить, зависит от задачи.

Сопряжённые выражения — двучлены вида a + b и a − b; при умножении их произведение равно a² − b². Для выражений с корнями это означает, например, что (√a + √b)(√a − √b) = a − b. Такой результат полезен, когда сумма или разность корней мешает упростить дробь. Сопряжённое выражение получают, меняя знак между слагаемыми.

Рационализирующий множитель — выражение, на которое умножают числитель и знаменатель дроби, чтобы убрать корни из выбранной части. Например, для знаменателя √b таким множителем служит √b, а для √a + √b — √a − √b. Множитель подбирают так, чтобы после умножения возникло выражение без корней. Он должен быть ненулевым в рассматриваемых допустимых значениях.

Как это устроено

Если в знаменателе стоит один корень √b, дробь домножают на √b/√b. Знаменатель превращается в √b · √b = b, потому что квадратный корень при умножении самого на себя даёт подкоренное число. Значение дроби не меняется: √b/√b равно единице при b > 0. В числителе после этого может появиться корень, но задача — сделать рациональным именно знаменатель.

Для суммы или разности корней умножение на тот же двучлен не помогает: например, (√b + √c)² содержит корень √bc. Поэтому выбирают сопряжённое выражение и используют формулу разности квадратов: (√b + √c)(√b − √c) = b − c. В результате знаменатель уже не содержит корней. Нужно отдельно учитывать случай b = c: тогда новый знаменатель равен нулю, а исходный двучлен тоже может оказаться нулём.

Чтобы убрать корни из числителя, выбирают множитель, который рационализирует именно его. Например, для √a + √b подходит √a − √b, а для √a − √b — √a + √b: произведение становится a − b. Но домножают не только числитель, а всю дробь, то есть и знаменатель. Иначе получится уже другая дробь, не равная исходной.

После домножения нужно проверить, что выбранный множитель не равен нулю и новый знаменатель допустим. Затем можно выполнить умножение и сократить общие множители, если они есть. Сокращение не отменяет ограничений исходного выражения: значение, при котором исходный знаменатель был нулём, по-прежнему запрещено. Поэтому область допустимых значений (ОДЗ) находят по исходной дроби.

Рационализирующий множитель выбирают по строению выражения, которое требуется изменить. Для одного корня подходит такой же корень, потому что их произведение убирает знак корня. Если перед нами двучлен с корнями, нужен сопряжённый: только он превращает произведение в разность подкоренных выражений. После выбора полезно проверить результат обратным умножением и убедиться, что нужная часть действительно стала рациональной.

Выбор множителя для уничтожения иррациональности

Сначала определите, в какой части дроби нужно убрать корни, затем выберите соответствующую строку таблицы. Если выражение содержит двучлен, знак между корнями в множителе меняют на противоположный. Перед применением проверьте, что множитель и полученный знаменатель не обращаются в ноль.

Разбор задач

Задача 1. Уничтожить иррациональность в знаменателе дроби 5/√3.

В знаменателе находится один корень, поэтому достаточно умножить дробь на √3/√3. Это выражение равно единице, так что значение дроби сохранится. После умножения знаменатель станет рациональным числом.

1. Запишем дробь, умноженную на единицу: 5/√3 · √3/√3.
2. Перемножим числители и знаменатели: 5√3/(√3 · √3).
3. Заменим произведение корней подкоренным числом: √3 · √3 = 3.

Ответ: 5√3/3. Знаменатель не равен нулю, а выбранный множитель √3 также ненулевой.

Задача 2. Уничтожить иррациональность в знаменателе дроби 2/(√7 + √5).

Здесь знаменатель — сумма корней, значит, множителем будет сопряжённая разность √7 − √5. При умножении сумма на разность превращается в разность квадратов. Числитель также нужно домножить на этот множитель, иначе значение дроби изменится.

1. Домножим дробь на (√7 − √5)/(√7 − √5).
2. В числителе получим 2(√7 − √5), а в знаменателе применим формулу разности квадратов: (√7)² − (√5)².
3. Вычислим знаменатель: 7 − 5 = 2, затем сократим дробь на 2.

Ответ: √7 − √5. Исходный знаменатель положителен, поэтому он не равен нулю; сопряжённый множитель тоже ненулевой.

Задача 3. Уничтожить иррациональность в числителе дроби (√x − 2)/(x − 4), указав допустимые значения переменной и упростив результат.

Подкоренное выражение требует x ≥ 0, а знаменатель исходной дроби запрещает x = 4. Чтобы убрать корень из числителя, возьмём сопряжённое выражение √x + 2. После умножения появится множитель x − 4, который можно сократить, но только с сохранением исходного ограничения.

1. Запишем ОДЗ исходной дроби: x ≥ 0 и x ≠ 4.
2. Домножим дробь на (√x + 2)/(√x + 2).
3. В числителе получим (√x − 2)(√x + 2) = x − 4, поэтому дробь станет (x − 4)/((x − 4)(√x + 2)).
4. Сократим общий множитель x − 4, учитывая, что по ОДЗ он не равен нулю.

Ответ: 1/(√x + 2), при x ≥ 0 и x ≠ 4. Значение x = 4 нельзя включать в ответ, хотя упрощённая дробь при нём определена: исходное выражение там не существовало.

Типичные ошибки

Домножают только числитель или только знаменатель, забывая изменить вторую часть. В таком случае дробь уже не умножается на единицу, а её значение меняется. Ошибка возникает, когда внимание сосредоточено только на нужном корне. Проверка простая: множитель должен стоять и сверху, и снизу, причём быть одним и тем же.

При двучлене умножают на такой же двучлен вместо сопряжённого. Тогда получается квадрат суммы или разности, в котором корни обычно остаются. Так происходит, если не замечают, что нужно применить формулу разности квадратов. Проверьте знак между слагаемыми: в сопряжённом выражении он обязательно противоположный.

В произведении сопряжённых выражений ошибаются со знаком: (√a + √b)(√a − √b) = a − b, а не a + b. Причина — неверное применение формулы квадрата суммы или путаница между сложением и вычитанием квадратов. Раскройте скобки: смешанные слагаемые взаимно уничтожаются, остаются только a и −b.

Сокращают дробь или исключают значения переменной, не проверив исходную область определения. После сокращения может исчезнуть множитель, который раньше обращал знаменатель в ноль. Поэтому ограничения определяют до преобразований и переносят в ответ. Для самопроверки подставьте спорное значение в исходную дробь: если знаменатель равен нулю или корень не определён, это значение запрещено.

Связь с другими темами

Для рационализации нужны свойства квадратных корней, формула разности квадратов и правило умножения дроби на одно и то же ненулевое выражение. Без них нельзя обосновать ни выбор множителя, ни сохранение значения дроби. Приём встречается при преобразовании алгебраических дробей и упрощении выражений с корнями. Он также помогает при решении уравнений и неравенств, когда требуется получить более удобную форму.

Что запомнить

• Умножение числителя и знаменателя дроби на одно и то же ненулевое выражение не меняет её значения.
• Чтобы убрать √b из знаменателя, можно домножить дробь на √b/√b.
• Сопряжённые двучлены отличаются знаком между слагаемыми.
• Произведение сопряжённых двучленов сводится к разности квадратов.
• Рационализирующий множитель выбирают по виду выражения, в котором нужно убрать корни.
• После преобразования проверяют область определения и ненулевое значение знаменателя.