7. Оценка значения определённого интеграла

Определения и обозначения

Оценка значения определённого интеграла — установление нижней и верхней границ, между которыми находится интеграл, без обязательного точного вычисления. Например, запись 2 ≤ ∫₀² f(x) dx ≤ 6 сообщает, что значение интеграла лежит между 2 и 6. Такая оценка полезна, когда первообразную трудно найти или достаточно знать примерный диапазон результата. Она также помогает проверить вычисление, сделанное другим способом.

Нижняя оценка интеграла — число или выражение, не превосходящее значение определённого интеграла. Если L ≤ ∫ₐᵇ f(x) dx, то L служит гарантированной нижней границей. Её нельзя выбирать только по виду формулы: нужно обосновать, что неравенство верно для всей рассматриваемой ситуации. Нижняя оценка показывает, насколько большим интеграл заведомо не может быть меньше.

Верхняя оценка интеграла — число или выражение, не меньшее значения определённого интеграла. Запись ∫ₐᵇ f(x) dx ≤ U означает, что интеграл не превышает U. Вместе нижняя и верхняя оценки образуют промежуток, содержащий искомое значение. Чем ближе его границы друг к другу, тем точнее известен интеграл.

Интегральное неравенство — неравенство, связывающее интегралы функций при сравнении самих функций на отрезке. Если f(x) ≤ g(x) для каждого x из [a; b], то ∫ₐᵇ f(x) dx ≤ ∫ₐᵇ g(x) dx. Это правило переносит сравнение графиков на сравнение интегралов. Оно позволяет получить оценку, не вычисляя интегралы по отдельности.

Как это устроено

Пусть m ≤ f(x) ≤ M на всём отрезке [a; b]. Интеграл можно понимать как предел сумм узких прямоугольников: в каждом слагаемом значение функции умножается на ширину полоски. Если вместо значения функции в каждой полоске взять число m, сумма не увеличится; если взять M, сумма не уменьшится. При переходе к пределу получаем m(b − a) ≤ ∫ₐᵇ f(x) dx ≤ M(b − a), потому что сумма ширин полосок равна длине отрезка.

Геометрически, когда функция неотрицательна, интеграл равен площади под её графиком. Если график на [a; b] лежит между горизонтальными прямыми y = m и y = M, область под ним заключена между прямоугольниками ширины b − a и высот m и M. Поэтому площадь — а значит, и интеграл — не меньше площади нижнего прямоугольника и не больше площади верхнего. Если нижняя граница отрицательна, формула сохраняет смысл как оценка интеграла, но прямоугольник уже не следует автоматически трактовать как обычную площадь.

Сравнение двух функций действует по той же причине: при f(x) ≤ g(x) каждый прямоугольник, построенный по значениям f, не выше соответствующего прямоугольника для g. Значит, и суммы для f не превосходят сумм для g, а после перехода к интегралам получаем ∫ₐᵇ f(x) dx ≤ ∫ₐᵇ g(x) dx. Для функции f(x) ≥ 0 это, в частности, даёт неотрицательность интеграла. Если f(x) ≤ 0 на всём отрезке, интеграл, напротив, неположителен.

Когда функция меняет знак, вклад участков выше оси Ox положителен, а ниже оси — отрицателен. Поэтому интеграл может быть меньше геометрической площади всей области и даже равняться нулю, если положительные и отрицательные вклады взаимно уничтожаются. Для общей оценки используют |∫ₐᵇ f(x) dx| ≤ ∫ₐᵇ |f(x)| dx; если вдобавок |f(x)| ≤ M, то получаем |∫ₐᵇ f(x) dx| ≤ M(b − a). Так знак не приводит к ошибочной трактовке площади.

Если границы m и M на всём отрезке слишком далеки друг от друга, отрезок разбивают на части. На каждой части находят собственные нижнюю и верхнюю границы функции, умножают их на длину именно этой части, а затем складывают все нижние и все верхние оценки. Суммирование допустимо благодаря свойству аддитивности интеграла по промежуткам. Такой способ обычно точнее, потому что на коротком отрезке функция меняется меньше и её границы можно выбрать ближе друг к другу.

Основные способы оценки определённого интеграла

Сначала проверьте, какое условие известно: границы одной функции, её знак, сравнение с другой функцией или ограничение модуля. Затем выберите соответствующую строку и убедитесь, что условие выполнено на всём нужном отрезке. Во всех оценках с постоянными границами не забывайте умножать их на длину отрезка.

Разбор задач

Оценка интеграла с корнем

Условие. Оценить ∫₀² √(1 + x) dx, используя границы подынтегральной функции на [0; 2]. Точное вычисление первообразной не требуется. Идея решения — сначала определить, какие значения принимает функция на всём отрезке, а затем применить прямоугольную оценку.

1. Функция f(x) = √(1 + x) возрастает на [0; 2], поскольку при увеличении x увеличивается и выражение под корнем. Поэтому её наименьшее значение равно f(0) = 1, а наибольшее — f(2) = √3.
2. Значит, для всех x из [0; 2] выполняется 1 ≤ √(1 + x) ≤ √3. Длина отрезка равна 2 − 0 = 2, поэтому к обеим границам применяем множитель 2.
3. Получаем 1 · 2 ≤ ∫₀² √(1 + x) dx ≤ √3 · 2. Значение интеграла заключено между 2 и 2√3; оценка не требует находить первообразную.

Ответ: 2 ≤ ∫₀² √(1 + x) dx ≤ 2√3. Обратите внимание, что оба края оценки относятся ко всему отрезку, а не только к отдельным значениям x.

Оценка интеграла синуса

Условие. Доказать, что 0 ≤ ∫₀ᵖ sin x dx ≤ π, не вычисляя интеграл по формуле Ньютона—Лейбница. На отрезке [0; π] синус неотрицателен и не превосходит 1. Значит, можно применить оценку для функции, зажатой между нулём и постоянной верхней границей.

1. Для любого x ∈ [0; π] верно 0 ≤ sin x ≤ 1. Нижняя граница здесь m = 0, верхняя M = 1.
2. Длина отрезка равна π − 0 = π. По формуле m(b − a) ≤ ∫ₐᵇ f(x) dx ≤ M(b − a) получаем 0 · π ≤ ∫₀ᵖ sin x dx ≤ 1 · π.
3. После упрощения остаётся требуемое неравенство. Знак интеграла объясняется тем, что синус на всём отрезке неотрицателен, а верхний предел оценки — площадью прямоугольника высоты 1.

Ответ: 0 ≤ ∫₀ᵖ sin x dx ≤ π. Рассуждение использует только границы функции и длину отрезка.

Уточнение оценки разбиением

Условие. Получить оценку интеграла ∫₀¹ dx/(1 + x²), разделив [0; 1] на [0; ½] и [½; 1]. Функция f(x) = 1/(1 + x²) убывает на этом отрезке: при увеличении x знаменатель растёт. Поэтому на каждой половине её значения ограничены значениями на концах этой половины.

1. На [0; ½] функция меняется от 1 до 1/(1 + ¼) = 4/5. Следовательно, 4/5 ≤ f(x) ≤ 1, а длина части равна ½.
2. На [½; 1] функция меняется от 4/5 до 1/2. Поэтому 1/2 ≤ f(x) ≤ 4/5; длина этой части также ½.
3. Для нижней оценки складываем (4/5) · ½ и (1/2) · ½, получая 13/20. Для верхней складываем 1 · ½ и (4/5) · ½, получая 9/10.

Ответ: 13/20 ≤ ∫₀¹ dx/(1 + x²) ≤ 9/10. Границы проверены на каждой части отдельно, а оценки сложены по свойству аддитивности интеграла.

Типичные ошибки

При переходе от сравнения функций к сравнению интегралов иногда меняют направление неравенства. Если f(x) ≤ g(x) на всём отрезке, интеграл от f не больше интеграла от g, поскольку соответствующие суммы тоже упорядочены так же. Ошибку часто вызывает желание «перенести» неравенство по аналогии с преобразованием формул. Проверка себя: возьмите постоянные функции 1 и 2 — на отрезке длины 1 их интегралы равны 1 и 2.

Другая ошибка — записать минимум или максимум функции как оценку интеграла, забыв множитель b − a. Границы m и M задают высоты прямоугольников, но площадь зависит ещё и от их ширины. Такое забывают, когда механически выписывают крайние значения функции. Проверка: размер оценки должен учитывать длину отрезка; например, для постоянной функции f(x) = 1 интеграл на [0; 3] равен 3, а не 1.

Нельзя применять формулу m(b − a) ≤ ∫ₐᵇ f(x) dx ≤ M(b − a), не проверив, что m ≤ f(x) ≤ M выполняется для всех x от a до b. Границы, найденные только на части отрезка или в нескольких точках, не обязательно подходят для всей функции. Ошибка возникает, когда отдельные значения принимают за минимум и максимум без обоснования. Проверка: изучите монотонность и экстремумы либо непосредственно докажите неравенства.

Интеграл часто ошибочно называют площадью под графиком, даже если функция принимает отрицательные значения. На участках ниже оси Ox вклад в интеграл отрицательный, поэтому он может компенсировать положительный вклад сверху. Заблуждение появляется из-за геометрического смысла интеграла для неотрицательных функций. Проверка: выясните знак функции на всём отрезке; если он меняется, отдельно учитывайте знаковые вклады или оценивайте модуль.

Связь с другими темами

Для оценок нужны свойства определённого интеграла, сравнение функций, длина отрезка и представление интеграла как площади для неотрицательной функции. С этими знаниями можно получать границы, не находя первообразную. Оценивание применяется в приближённых вычислениях, при доказательстве неравенств и при контроле погрешности численных методов интегрирования. Если же первообразная известна, формула Ньютона—Лейбница даёт точное значение, которое можно сопоставить с полученной оценкой.

Что запомнить

• Если m ≤ f(x) ≤ M, то m(b − a) ≤ ∫ₐᵇ f(x) dx ≤ M(b − a).
• Сравнение функций на всём отрезке даёт сравнение их интегралов.
• Для неотрицательной функции определённый интеграл неотрицателен.
• Модуль интеграла не превосходит интеграла от модуля функции.
• Чем уже границы для функции, тем точнее оценка интеграла.
• Разбиение отрезка обычно позволяет уточнить грубую оценку.