§ 1. Показательная функция и её свойства

Определения и обозначения

Показательной называют функцию y = aˣ, где a > 0 и a ≠ 1. Здесь x — переменная в показателе степени, а a — постоянное основание. Основание должно быть положительным, иначе степень не будет иметь действительного значения при некоторых показателях, например при x = ½. Значение a = 1 исключают, потому что 1ˣ всегда равно 1 и функция не меняется.

Основание показательной функции — число a, от которого зависит вид графика и направление изменения функции. При a > 1 функция возрастает, а при 0 < a < 1 убывает: во втором случае основание является дробью меньше единицы. Поэтому по основанию сразу можно определить, как меняется значение функции при увеличении x. Случай a = 1 не рассматривают как показательный.

Область определения — множество всех допустимых значений аргумента. Для y = aˣ это все действительные числа: x может быть целым, дробным или иррациональным. Это возможно благодаря определению степени с действительным показателем при положительном основании. Ограничения на x здесь нет.

Множество значений — все числа, которые функция может принимать. Поскольку a > 0, степень aˣ положительна при любом действительном x, поэтому значения принадлежат интервалу (0; +∞). Ноль в этот интервал не входит, хотя значения функции могут становиться сколь угодно близкими к нему. Это свойство помогает понять положение графика относительно оси Ox.

Как это устроено

Для целых показателей степени положительного числа уже задаются привычными правилами: например, a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Чтобы использовать зависимость не только для целых n, но и для любого действительного x, степень с действительным показателем определяют через приближение рациональными числами. Положительное основание обеспечивает согласованность такого определения и существование результата. Поэтому формула y = aˣ задаёт функцию на всей числовой прямой.

Пусть a > 1, а аргумент увеличился на положительное число h. Тогда новое значение равно aˣ⁺ʰ = aˣ · aʰ. Множитель aʰ больше единицы, поэтому новое значение больше прежнего. Именно постоянное умножение на число больше единицы объясняет возрастание функции, а не просто задаёт его как правило.

Если 0 < a < 1, то при h > 0 всё ещё верно aˣ⁺ʰ = aˣ · aʰ, но теперь множитель aʰ находится между нулём и единицей. Умножение положительного значения на такую дробь уменьшает его. Поэтому при увеличении x функция убывает; например, при a = ½ последовательные целые показатели дают 1, ½, ¼ и далее.

При a > 1 большие положительные показатели дают всё большие значения, а при движении x в сторону отрицательных чисел значения приближаются к нулю: a⁻ˣ = 1/aˣ. Если 0 < a < 1, направления меняются: для больших положительных x степени стремятся к нулю, а при больших отрицательных x растут без ограничения. В обоих случаях график приближается к прямой y = 0, но не достигает её. Такая прямая называется горизонтальной асимптотой.

Из правил степеней легко получить характерные точки графика: a⁰ = 1, a¹ = a и a⁻¹ = 1/a. Значит, график проходит через точки (0; 1), (1; a) и (−1; 1/a). Поскольку aˣ всегда положительно, ни одна точка графика не лежит на оси Ox. Эти точки и направление изменения помогают набросать график без таблицы значений для множества аргументов.

Свойства показательной функции y = aˣ

Сначала определите, к какому случаю относится основание, а затем используйте соответствующий столбец. Например, так можно установить направление изменения графика и его поведение при больших по модулю x. Область определения и множество значений одинаковы для обоих случаев.

Разбор задач

Задача 1

Для функции y = 3ˣ укажите область определения, множество значений, промежутки монотонности и вычислите значения при x = 0, 1 и −1. Основание 3 больше единицы, поэтому для монотонности подходит случай возрастающей функции. Значения в заданных точках найдём подстановкой показателей. Важно не перепутать нулевую и первую степени.

1. Так как основание 3 положительно и не равно 1, область определения — все действительные числа: ℝ.
2. Степень 3ˣ положительна при любом x, значит, множество значений — (0; +∞).
3. Поскольку 3 > 1, функция возрастает на всей области определения.
4. Подставим аргументы: y(0) = 3⁰ = 1, y(1) = 3¹ = 3, y(−1) = 3⁻¹ = 1/3.

Ответ: область определения — ℝ, множество значений — (0; +∞), функция возрастает на ℝ; y(0) = 1, y(1) = 3, y(−1) = 1/3.

Задача 2

Сравните числа (2/3)⁻² и (2/3)⁻¹, не вычисляя их десятичные значения. Это значения одной функции y = (2/3)ˣ при аргументах −2 и −1. Основание находится между нулём и единицей, поэтому функция убывает. При сравнении нужно учесть, что −2 меньше −1, а не менять порядок аргументов наугад.

1. Сравним показатели: −2 < −1.
2. Функция y = (2/3)ˣ убывает, потому что 0 < 2/3 < 1.
3. У убывающей функции меньшему аргументу соответствует большее значение. Следовательно, (2/3)⁻² > (2/3)⁻¹.

Ответ: (2/3)⁻² > (2/3)⁻¹. Десятичные значения вычислять не потребовалось: достаточно монотонности функции и порядка показателей.

Задача 3

Решите уравнение 5²ˣ⁻¹ = 1/25 и обоснуйте единственность решения. Чтобы приравнять показатели, представим правую часть степенью с основанием 5. Затем используем свойство: при одинаковом основании, положительном и не равном единице, степени равны только при равных показателях. Это свойство также объясняет, почему найденное значение будет единственным.

1. Представим правую часть: 1/25 = 5⁻².
2. Получим уравнение 5²ˣ⁻¹ = 5⁻², откуда 2x − 1 = −2.
3. Решим линейное уравнение: 2x = −1, значит, x = −1/2.
4. Показательная функция с основанием 5 строго возрастает, поэтому одному значению функции соответствует только один аргумент. Найденное решение единственно.

Ответ: x = −1/2.

Типичные ошибки

Ошибка: указывать область определения только для целых x. Так рассуждают, если вспоминают лишь целые степени, но степень положительного основания определена и для любого действительного показателя. Проверьте себя: в формуле ограничения на x нет, а основание удовлетворяет условиям a > 0 и a ≠ 1. Поэтому область определения — ℝ.

Ошибка: считать, что показательная функция всегда возрастает. Возрастание верно только при a > 1; если 0 < a < 1, функция убывает, потому что при увеличении показателя значение умножается на дробь меньше единицы. Проверяйте основание до вывода о монотонности. Для проверки можно сравнить значения при x = 0 и x = 1.

Ошибка: включать ноль в множество значений. К ней приводит то, что график приближается к оси Ox и значения становятся очень малыми. Но приближение не означает, что значение достигает нуля: aˣ > 0 для каждого действительного x. Записывайте множество значений как (0; +∞), с круглой скобкой у нуля.

Ошибка: путать значения при x = 0 и x = 1. Иногда показатель 0 ошибочно связывают со значением основания, хотя по свойству степеней a⁰ = 1, а a¹ = a. Для самопроверки подставьте показатели непосредственно в формулу. График поэтому проходит через (0; 1) и (1; a).

Связь с другими темами

Для изучения показательной функции нужны свойства степеней, в том числе нулевого, отрицательного и действительного показателя. Также пригодится умение читать графики и находить область определения, множество значений и монотонность. Эти навыки помогают не только описывать функцию, но и сравнивать её значения. Позже показательная функция станет основой для решения показательных уравнений и неравенств.

Показательные зависимости применяют и при описании роста или убывания величин, когда изменение связано с постоянным множителем. Например, так можно моделировать увеличение вклада или уменьшение количества вещества со временем. График подсказывает, растёт величина или уменьшается и к какому значению она приближается. Поэтому свойства функции связывают алгебраические вычисления с реальными процессами.

Что запомнить

• Показательная функция задаётся формулой y = aˣ, где a > 0 и a ≠ 1.
• Её область определения — все действительные числа.
• Её множество значений — (0; +∞).
• График проходит через точку (0; 1).
• При a > 1 функция возрастает, а при 0 < a < 1 убывает.
• Ось Ox — горизонтальная асимптота графика.
• Показательная функция принимает только положительные значения.