"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Органический рост и убывание описывают процессы, в которых величина за каждый одинаковый промежуток времени изменяется на один и тот же процент от своего текущего значения. Такая модель помогает рассчитывать рост числа бактерий, вклад с капитализацией процентов или уменьшение массы вещества. Главное — не прибавлять и не вычитать каждый раз одинаковое число: значение умножается на постоянный коэффициент, поэтому после n периодов получается a·qⁿ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Органический рост — увеличение величины, при котором за равные промежутки времени она каждый раз изменяется на один и тот же процент от своего текущего значения. Например, если число бактерий растёт на 20% за час, следующий прирост считают уже от нового числа бактерий. Это определение нужно, чтобы отличать процентный рост от прибавления одного и того же количества.
Коэффициент роста — число, во сколько раз величина увеличивается за один период. При росте на p процентов он равен q = 1 + p/100: например, рост на 8% соответствует коэффициенту 1,08. Коэффициентом удобно заменять словесное описание процесса умножением на одно и то же число.
Органическое убывание — уменьшение величины, при котором за равные промежутки времени она каждый раз уменьшается на один и тот же процент от текущего значения. Если вещество теряет 15% массы за час, очередная потеря рассчитывается от массы, оставшейся после предыдущего часа. Такое описание помогает строить модель постепенного уменьшения.
Коэффициент убывания — число, во сколько раз изменяется величина за период при уменьшении. Если величина уменьшается на p процентов, q = 1 − p/100; при потере 15% это 0,85. Умножение на этот коэффициент сразу показывает, какая часть текущего значения сохраняется после периода.
Пусть начальное значение равно a, а за каждый период величину умножают на коэффициент q. После первого периода получается aq, потому что к исходному значению применили один коэффициент. За второй период коэффициент применяется снова, теперь уже к aq, поэтому результат равен aq·q = aq²; повторяя это рассуждение n раз, получаем a·qⁿ. Степень появляется именно из-за многократного умножения на один и тот же коэффициент.
При росте на постоянный процент q больше 1, и каждый новый уровень выше предыдущего. Процент следующего периода берут от этого большего значения, поэтому абсолютная прибавка тоже становится больше. Например, при росте на 10% от 100 прибавится 10, а от 110 — уже 11. Так одинаковая доля приводит к неодинаковым прибавкам.
При убывании коэффициент находится между 0 и 1, поэтому каждое умножение уменьшает значение. Процент потери считают от текущей величины, которая становится всё меньше, и потому абсолютная потеря со временем сокращается. При уменьшении на 10% от 100 теряется 10, а от оставшихся 90 — 9. Доля потери при этом остаётся равной 10%.
Чтобы составить модель, сначала выясняют начальное значение и что считается одним периодом: например, часом или годом. Затем определяют процент изменения за период, переводят его в коэффициент q и устанавливают число прошедших периодов n. Наконец, записывают a·qⁿ и подставляют данные задачи. Если процент относится к уменьшению, его вычитают из единицы, а если к росту — прибавляют.
Модель описывает процесс точно только при условии, что процент изменения за каждый период остаётся постоянным. Это допущение позволяет применить одну и ту же степень коэффициента ко всем периодам. В реальности рост может замедлиться из-за нехватки ресурсов, а условия хранения вещества могут измениться. Поэтому модель полезна для расчётов и прогноза, но её предпосылки нужно соотносить с ситуацией.
| Характеристика | Органический рост | Органическое убывание |
|---|---|---|
| Изменение за период | Увеличение на p% от текущего значения | Уменьшение на p% от текущего значения |
| Коэффициент изменения q | q = 1 + p/100 | q = 1 − p/100 |
| Значение после n периодов | a·qⁿ | a·qⁿ |
| Условие на q | q > 1 | 0 < q < 1 |
| Изменение абсолютной прибавки или потери | Прибавка увеличивается | Потеря уменьшается |
Сначала выберите столбец, соответствующий процессу, и найдите коэффициент изменения. Затем используйте формулу a·qⁿ, где a — начальное значение, а n — число периодов. Строка об абсолютной прибавке или потере помогает проверить, соответствует ли результат смыслу задачи.
Задача 1. Число бактерий в благоприятных условиях за час увеличивается на 20%. Во сколько раз изменится их число за два часа? Нужно сравнить конечное и начальное число, поэтому достаточно найти общий множитель изменения, не зная самого количества бактерий.
Задача 2. Вклад 10 000 рублей ежегодно увеличивается на 5% с капитализацией процентов. Найдём сумму через три года. Капитализация означает, что начисленные проценты остаются на вкладе и в следующем году тоже участвуют в расчёте.
Задача 3. Масса вещества уменьшается на 15% за каждый час. Сначала она равна 800 г; нужно найти массу через 4 часа и определить, когда она станет меньше 400 г. Сначала построим общую модель, а затем применим её для вычисления и для сравнения с заданным пределом.
Первая ошибка — каждый раз прибавлять одинаковый процент от начального значения. Так рассуждают, потому что процент иногда путают с фиксированной прибавкой, но при органическом процессе его считают от текущей величины. Например, рост на 10% от 100, а затем от 110 даёт 10 и 11, а не две прибавки по 10. Проверьте себя: в модели должен использоваться множитель q при каждом периоде.
При уменьшении на p процентов иногда выбирают коэффициент 1 + p/100. Это происходит, если забыть, что после уменьшения сохраняется не исходная доля плюс потерянная, а только часть, оставшаяся от целого. Для уменьшения на 15% правильный коэффициент — 0,85, а не 1,15. Проверка проста: коэффициент убывания должен быть меньше единицы и давать результат меньше исходного.
Можно ошибочно решить, что рост на 10%, а затем уменьшение на 10% возвращают исходное значение. Проценты считают от разных величин: после роста на 10% исходное значение умножается на 1,1, а затем результат — на 0,9. Произведение 1,1·0,9 = 0,99, поэтому итог на 1% меньше начального. Для проверки перемножьте коэффициенты, а не складывайте проценты.
Ещё одна ошибка — возводить в степень сам процент или путать процент с числом периодов. В записи a·qⁿ основание q — коэффициент изменения, а показатель n — число периодов, потому что коэффициент применяется столько раз. Например, при росте на 5% за три года записывают 1,05³, а не 5³. Перед вычислением проверьте, что процент уже переведён в коэффициент, а степень соответствует числу периодов.
Для работы с моделями понадобятся умения находить процент от числа, записывать проценты десятичной дробью и вычислять степени. Значения органического процесса по периодам образуют геометрическую прогрессию: начальное значение — её первый член, а коэффициент изменения — знаменатель. Поэтому формула a·qⁿ связана и с темой показательной функции. Эти модели применяются при расчёте сложных процентов, описании роста населения и радиоактивного распада.
Почему при одинаковом проценте изменения абсолютный прирост каждый раз разный?
Потому что процент каждый раз вычисляется от нового, уже изменившегося значения. При росте на 10% от 100 прибавляется 10, а затем от 110 прибавляется 11. Процент одинаков, но его числовое значение зависит от текущей величины.
Как выбрать коэффициент, если величина уменьшается на заданный процент?
Переведите процент p в десятичную дробь и вычтите её из единицы: q = 1 − p/100. Например, при уменьшении на 15% коэффициент равен 0,85. Значит, после каждого периода остаётся 85% текущего значения.
Почему нельзя просто умножить процент изменения на число периодов?
Такой расчёт предполагает одинаковую прибавку или потерю каждый раз, а при органическом процессе процент относится к текущему значению. Поэтому величину нужно умножать на коэффициент изменения столько раз, сколько прошло периодов: a·qⁿ. Например, два роста на 10% дают множитель 1,1², а не 1,2.
Как определить начальное значение, если известны значение после нескольких периодов и процент изменения?
Сначала найдите коэффициент q, затем запишите модель b = a·qⁿ, где b — известное значение после n периодов. Чтобы найти начальное значение, разделите обе части на qⁿ: a = b/qⁿ. При убывании деление выполняют на коэффициент меньше единицы.
Что означает показатель степени n в модели органического процесса?
Число n показывает, сколько периодов изменения прошло. Коэффициент q умножается на начальное значение один раз за каждый период, поэтому повторное умножение записывают как qⁿ. Если прошло три года и процент начисляется ежегодно, то n = 3.
1. Процессы органического роста и убывания
