"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Натуральный логарифм ln x показывает, в какую степень нужно возвести число e, чтобы получить положительное число x. Он обратен показательной функции y = eˣ, поэтому графики этих функций симметричны относительно прямой y = x. Функция ln x возрастает, принимает любые действительные значения и определена только при x > 0. Её график проходит через точку (1; 0), а ось y служит вертикальной асимптотой.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Натуральным логарифмом положительного числа x называют показатель степени, в которую нужно возвести e, чтобы получить x: ln x = y означает eʸ = x. Условие x > 0 обязательно, потому что значение логарифма должно быть действительным показателем степени. Такая запись позволяет переводить логарифмические выражения в показательные и обратно.
Число e — основание натурального логарифма; его приближённое значение равно 2,718. Это постоянное число, подобно π, а не переменная. Основание e удобно тем, что связанные с ним показательная функция и логарифм обладают особенно простыми свойствами, которые понадобятся при изучении производных.
Функция y = ln x обратна функции y = eˣ: каждому значению одной функции соответствует такое значение другой, что они восстанавливают исходный аргумент. Например, если y = ln x, то x = eʸ. Связь нужна для решения уравнений и для перехода от показательной записи к логарифмической.
Логарифмической называют функцию вида y = logₐ x, где a > 0 и a ≠ 1. Здесь a — основание, а натуральный логарифм является частным случаем при a = e: ln x = logₑ x. Условия на основание обеспечивают корректное определение логарифмической функции и исключают значения, при которых её свойства нарушаются.
Чтобы понять область определения, запишем ln x = y в равносильном виде eʸ = x. При любом действительном y значение eʸ строго положительно: график показательной функции целиком расположен выше оси x. Значит, ни ноль, ни отрицательное число не могут быть результатом возведения e в действительную степень, и область определения ln x состоит из x > 0.
У обратных функций аргумент и значение меняются ролями: точке (a; b) на графике y = eˣ соответствует точка (b; a) на графике y = ln x. Геометрически перестановка координат отражает точку относительно прямой y = x, поэтому графики двух функций симметричны относительно этой прямой. Например, точкам (0; 1) и (1; 0) соответствуют друг другу.
Равенства с простыми аргументами проверяются непосредственно определением. Поскольку e⁰ = 1, показатель для числа 1 равен нулю, то есть ln 1 = 0; поскольку e¹ = e, получаем ln e = 1. Наконец, ln(eˣ) = x, потому что логарифм спрашивает, в какую степень нужно возвести e, а для eˣ этот показатель уже равен x.
Показательная функция eˣ непрерывно возрастает и принимает только положительные значения. У обратной функции направление возрастания сохраняется, а множество её значений совпадает с областью определения исходной функции: так как область определения eˣ — все действительные числа, ln x также принимает любые действительные значения. Поэтому ln x возрастает на всей своей области определения и не ограничена ни сверху, ни снизу.
Когда x приближается к нулю справа, чтобы получить такое малое положительное число в виде eʸ, показатель y должен становиться всё более отрицательным; значит, ln x → −∞. При x → +∞ показатель, дающий число x, тоже неограниченно растёт, поэтому ln x → +∞. Первое поведение означает, что график неограниченно опускается возле вертикальной прямой x = 0, которая является его асимптотой.
| Свойство | Описание |
|---|---|
| Область определения | (0; +∞), то есть x > 0. |
| Множество значений | Все действительные числа. |
| Нуль функции | x = 1, поскольку ln 1 = 0. |
| Знак функции | ln x < 0 при 0 < x < 1; ln x > 0 при x > 1. |
| Монотонность | Строго возрастает на (0; +∞). |
| Непрерывность | Непрерывна при всех x > 0. |
| Предел при x → 0+ | −∞. |
| Предел при x → +∞ | +∞. |
| Вертикальная асимптота | Прямая x = 0. |
| Точки для построения графика | (1; 0), (e; 1), (1/e; −1). |
Таблица помогает быстро проверить область допустимых значений, знак и поведение функции, прежде чем решать задачу. Для эскиза отметьте точки (1; 0) и (e; 1), проведите возрастающую кривую только справа от оси y и учтите асимптоту x = 0. Точка (1/e; −1) помогает уточнить форму графика слева от x = 1.
Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным, поэтому требуется решить неравенство 2x − 6 > 0. Граница, при которой аргумент равен нулю, в область определения не входит. Проверим неравенство и запишем результат в виде промежутка.
Ответ: область определения — (3; +∞). Число 3 не включается, потому что при x = 3 аргумент логарифма равен нулю.
Логарифм равен 2 тогда, когда основание e нужно возвести во вторую степень, чтобы получить его аргумент. Сначала учитываем, что x − 1 должно быть положительным, затем переходим к показательному уравнению. Так мы используем определение ln, а не пытаемся преобразовать логарифм как обычное слагаемое.
Ответ: x = e² + 1. Приближённо это 8,39, но точная форма с e² предпочтительна.
Сравним выражение с базовой функцией y = ln x. Замена x на x − 2 сдвигает график вправо на 2, а прибавление 1 снаружи логарифма поднимает его на 1. Эти преобразования одновременно показывают, куда переместятся область определения и вертикальная асимптота.
Ответ: область определения — (2; +∞), вертикальная асимптота — x = 2. Например, точка (1; 0) исходного графика переходит в (3; 1).
Ошибка: считать, что ln x определён при x = 0. Её допускают, когда забывают, что логарифм задаёт действительный показатель степени, а eʸ никогда не равно нулю. Проверка простая: перед вычислениями потребуйте, чтобы аргумент каждого логарифма был строго больше нуля.
Ошибка: смешивать ln x и ln(−x), полагая, что оба выражения определены при одних и тех же x. У первого аргумент положителен при x > 0, у второго — при x < 0. Подставьте знак аргумента в условие «аргумент > 0»: так легко установить нужную область определения.
Ошибка: записывать ln(eˣ) = eˣ или ln x = eˣ. Так путают взаимно обратные операции и забывают, что логарифм возвращает показатель степени. Проверяйте запись равносильностью: ln A = b означает A = eᵇ, поэтому ln(eˣ) = x.
Ошибка: считать, что график пересекает ось y. На этой оси x = 0, но ln 0 не определён; при приближении к ней справа график уходит вниз без ограничения. Проверка: найдите область определения и сравните её с x = 0; сама ось является вертикальной асимптотой, а не линией пересечения.
Для изучения ln x нужны свойства показательной функции: прежде всего, что eˣ > 0 и eˣ возрастает. Понадобится и понятие обратных функций, чтобы понимать связь графиков и переход от логарифмической формы к показательной. Натуральный логарифм помогает решать показательные уравнения и неравенства, а позднее становится важным инструментом в темах о производной и интеграле.
Почему натуральный логарифм определён только для положительных чисел?
Запись ln x = y означает, что eʸ = x. При любом действительном y число eʸ положительно, поэтому получить ноль или отрицательное число нельзя.
Что означает запись ln x?
Это показатель степени, в которую нужно возвести число e, чтобы получить x. Например, ln e = 1, потому что e¹ = e.
Как связаны функции y = ln x и y = e^x?
Они взаимно обратны: ln x = y равносильно eʸ = x. Поэтому их графики симметричны относительно прямой y = x, а координаты соответствующих точек меняются местами.
Почему ln 1 равен нулю?
По определению ln 1 — это показатель, в который нужно возвести e, чтобы получить 1. Так как e⁰ = 1, получаем ln 1 = 0.
Как по графику y = ln x построить график y = ln(x − 2) + 1?
Сначала сдвиньте график y = ln x вправо на 2 единицы, а затем вверх на 1. Его область определения станет x > 2, а вертикальная асимптота переместится с x = 0 на x = 2.
3. Определение функции lnx, её свойства и график
