"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Схема Бернулли помогает вычислять вероятность нужного числа успехов в серии одинаковых независимых испытаний. Например, с её помощью можно узнать вероятность нескольких попаданий при серии выстрелов или хотя бы одного бракованного изделия в партии. Главное — в каждом испытании должны быть два исхода, вероятность успеха должна оставаться постоянной, а исходы не должны влиять друг на друга. Для расчёта используют формулу с числом сочетаний.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Испытание Бернулли — случайное испытание с двумя исходами, один из которых считается успехом. Например, при броске монеты успехом можно условно выбрать выпадение орла, а другим исходом будет решка. Это понятие задаёт простую модель, к которой можно применять формулы для повторных испытаний.
Успех — выбранный исход испытания; его вероятность обозначают p. Успехом называют не обязательно желательный результат: это просто исход, число появлений которого требуется изучить. Обозначение p помогает кратко записать вероятность этого исхода в каждом испытании.
Вероятность неудачи — вероятность противоположного исхода; её обозначают q и вычисляют как q = 1 − p. Поскольку успех и неудача охватывают все возможные исходы, их вероятности в сумме равны единице. Значение q нужно учитывать, когда в серии есть испытания без успеха.
Схема Бернулли — серия из n независимых испытаний Бернулли с неизменной вероятностью успеха p. Независимость и одинаковая вероятность позволяют считать, что каждое повторение устроено по одной и той же модели. Такая схема нужна, чтобы находить вероятность заданного числа успехов во всей серии.
Чтобы применить схему Бернулли, нужно проверить два условия. Независимость означает, что результат одного испытания не меняет шансы успеха в остальных; поэтому вероятность всей последовательности можно получить умножением вероятностей отдельных исходов. Если же, например, результат предыдущего опыта влияет на следующий, такая модель не подходит. Кроме того, вероятность успеха должна оставаться равной p: при изменении условий испытаний нельзя пользоваться одной и той же формулой без дополнительного обоснования.
Рассмотрим заданную последовательность из n испытаний, в которой k раз произошёл успех, а n − k раз — неудача. Вероятность каждого успеха равна p, а каждой неудачи — q. Из-за независимости вероятности этих исходов перемножаются, поэтому вероятность последовательности равна pᵏqⁿ⁻ᵏ. Порядок исходов может меняться, но при фиксированных k и n − k множители остаются теми же.
Нужную последовательность успехов и неудач можно расположить по-разному. Например, при трёх испытаниях и двух успехах возможны варианты УУН, УНУ и НУУ. Чтобы посчитать все такие варианты для n испытаний, нужно выбрать, какие именно k испытаний окажутся успешными. Число способов выбрать k элементов из n обозначают Cₙᵏ, то есть это число сочетаний.
Вероятность ровно k успехов получается сложением вероятностей всех подходящих последовательностей. Каждая из них имеет вероятность pᵏqⁿ⁻ᵏ, а последовательностей Cₙᵏ, поэтому Pₙ(k) = Cₙᵏpᵏqⁿ⁻ᵏ. Здесь n — общее число испытаний, а k может быть любым целым числом от 0 до n включительно. Формула учитывает и вероятность одной последовательности, и количество способов расположить успехи.
Событие «хотя бы один успех» включает случаи с одним, двумя и более успехами. Перебирать их по отдельности часто неудобно, поэтому рассматривают противоположное событие: неудача во всех n испытаниях. Вероятность такого исхода равна qⁿ, поскольку вероятность неудачи в каждом испытании q, а испытания независимы. Следовательно, вероятность хотя бы одного успеха равна 1 − qⁿ.
| Что обозначает | Обозначение или формула |
|---|---|
| Число испытаний | n |
| Число успехов | k, где 0 ≤ k ≤ n |
| Вероятность успеха и неудачи | p и q = 1 − p |
| Вероятность ровно k успехов | Pₙ(k) = Cₙᵏpᵏqⁿ⁻ᵏ |
| Вероятность хотя бы одного успеха | 1 − qⁿ |
Сначала определи n и нужное число успехов k, затем найди p и вычисли q = 1 − p. Для ровно k успехов используй формулу с сочетаниями, а для хотя бы одного — формулу через противоположное событие. Перед подстановкой проверь, что испытания независимы и вероятность успеха постоянна.
Считаем успехом выпадение орла. При броске правильной монеты p = 0,5, и вероятность решки тоже равна 0,5. Броски рассматриваем как независимые испытания с одинаковыми вероятностями.
Успехом считаем попадание, а промахом — неудачу. Из условия уже известны n = 5 и p = 0,8; вероятность промаха q = 0,2. Ровно четыре попадания могут расположиться в серии несколькими способами, поэтому учитываем сочетания.
Нужно найти вероятность хотя бы одного бракованного изделия. Удобнее сначала рассмотреть противоположное событие: все десять изделий годные. Вероятность годного изделия равна 1 − 0,02 = 0,98, а проверки независимы.
Можно объявить испытания независимыми только потому, что они повторяются. Но повторение само по себе не гарантирует независимость: например, выбор без возвращения меняет состав оставшихся объектов и может повлиять на следующий результат. Проверяй условие задачи или явно оговорённую модель. Если вероятность следующего успеха зависит от предыдущих исходов, обычную схему Бернулли применять нельзя.
Другая ошибка — принять вероятность неудачи за p или забыть вычислить q. Такое происходит, когда в задаче названа вероятность промаха или брака, а успехом выбрано противоположное событие. Сначала подпиши, какой исход считается успехом, и только потом укажи p. Самопроверка простая: вероятность неудачи должна быть q = 1 − p, а сумма p + q — равна 1.
В формуле для ровно k успехов иногда пишут pⁿ, забывая про неудачи. Тогда получается вероятность того, что успех случится во всех испытаниях, а не ровно k раз. Проверь показатели: при k успехах должно быть pᵏ, а при n − k неудачах — qⁿ⁻ᵏ. Сумма показателей k и n − k должна дать n.
Наконец, можно посчитать вероятность одной последовательности и принять её за вероятность ровно k успехов. Это неверно, если одни и те же k успехов могут стоять на разных местах. Умножай вероятность последовательности на Cₙᵏ — число способов выбрать позиции успехов. Для проверки перечисли варианты в простом случае: при трёх испытаниях два успеха размещаются тремя способами.
Перед изучением схемы Бернулли нужно уметь находить вероятность события и противоположного ему события. Также понадобится правило умножения вероятностей независимых событий: именно оно объясняет вероятность конкретной последовательности исходов. Эти знания позволяют понять, откуда в формуле берутся степени p и q.
Число Cₙᵏ относится к сочетаниям из комбинаторики: оно показывает, сколькими способами можно выбрать k объектов из n, не учитывая порядок выбора. В схеме Бернулли сочетания считают, на каких местах серии появятся успехи. Поэтому формула объединяет комбинаторику с вычислением вероятностей.
Схема Бернулли применяется в задачах о повторных испытаниях: проверках изделий, выстрелах или бросках монеты. Позже эта же идея встречается при изучении биномиального распределения, описывающего вероятности разных чисел успехов. Умение проверять условия модели и выбирать нужное значение k пригодится при решении таких задач.
Какие условия необходимы для применения схемы Бернулли?
В каждом испытании рассматривают два исхода: успех и неудачу. Испытания должны быть независимыми, а вероятность успеха p — одинаковой для каждого из них.
Почему в формуле вероятности ровно k успехов появляется число сочетаний?
Число сочетаний Cₙᵏ показывает, сколькими способами можно выбрать k испытаний из n для успехов. Каждому такому выбору соответствует отдельная последовательность исходов с той же вероятностью.
Как найти вероятность неудачи, если известна вероятность успеха?
Успех и неудача — противоположные исходы, поэтому их вероятности в сумме равны 1. Значит, вероятность неудачи q = 1 − p.
Чем вероятность одной последовательности исходов отличается от вероятности ровно k успехов?
Вероятность одной заданной последовательности равна pᵏqⁿ⁻ᵏ. Ровно k успехов могут появиться в разных последовательностях, поэтому эту вероятность умножают на число таких последовательностей Cₙᵏ.
Как вычислить вероятность хотя бы одного успеха?
Сначала находят вероятность противоположного события — что успехов не будет вовсе. Она равна qⁿ, поэтому вероятность хотя бы одного успеха равна 1 − qⁿ.
36. Схема Бернулли
