37. Случайные величины

Определения и обозначения

Случайная величина — величина, значение которой определяется исходом случайного опыта. Например, после броска кубика число очков на верхней грани может быть 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Такое описание удобно, когда вместо перечисления результатов опыта нужно изучать числовые показатели.

Значение случайной величины — конкретное число, которое она принимает при некотором исходе опыта. При броске двух монет исходы «герб, решка» и «решка, герб» дают одинаковое значение: один выпавший герб. Это различие помогает не путать исход опыта с числом, которое мы ему сопоставили.

Закон распределения случайной величины — перечень всех её возможных значений и соответствующих им вероятностей. Обычно его записывают в таблице: в одной строке указывают значения, в другой — вероятности. По такой записи можно увидеть, какие результаты возможны и насколько каждый из них вероятен.

Математическое ожидание случайной величины — сумма произведений её возможных значений на их вероятности. Для значений x₁, x₂, …, xₙ с вероятностями p₁, p₂, …, pₙ формула имеет вид M(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + … + xₙpₙ. Это средний результат, к которому приближается среднее по большому числу повторений опыта.

Как это устроено

Сначала случайный опыт связывают с числом: каждому исходу по условию задачи ставят в соответствие значение величины. Например, для двух монет можно считать количество выпавших гербов, а не записывать сами стороны монет. Такое правило и определяет, какую именно случайную величину мы изучаем. Если изменить вопрос задачи, изменится и числовой показатель, хотя опыт останется тем же.

Чтобы найти вероятность значения величины, нужно собрать все исходы, которые дают это значение. Если исходы несовместны, то есть не могут произойти одновременно, их вероятности складывают. Так, при подбрасывании двух монет один герб получается в двух разных случаях: сначала герб, затем решка или наоборот. Вероятность одного герба равна сумме вероятностей этих случаев.

В закон распределения включают все возможные значения, иначе описание опыта будет неполным. Величина обязательно примет какое-либо из них, поэтому события «величина равна x₁», «величина равна x₂» и так далее вместе охватывают все исходы. Их вероятности в сумме дают 1. Если сумма меньше единицы, вероятно, пропущено значение или неправильно вычислена его вероятность.

Математическое ожидание находят, умножая каждое значение на его вероятность, а затем складывая произведения. Это взвешенное среднее: частые результаты влияют на него сильнее, чем редкие. Поэтому оно может не совпасть ни с одним результатом отдельного опыта. Например, среднее число гербов при двух бросаемых одновременно монетах равно 1, хотя в одном опыте может выпасть ноль или два герба.

На практике закон распределения показывает и возможные результаты, и то, как часто они ожидаются в повторяющихся опытах. Вероятность отдельного исхода и вероятность значения величины — не всегда одно и то же: одному значению могут соответствовать несколько исходов. Для значения сначала объединяют все подходящие исходы, а затем используют полученную вероятность в таблице. Математическое ожидание помогает оценить средний результат серии опытов, но не предсказывает точный результат одного опыта.

Закон распределения случайной величины и её математическое ожидание

Заполни первые две колонки всеми возможными значениями и вероятностями, а затем перемножь числа в каждой строке. Проверь, что сумма вероятностей равна 1: это признак того, что учтены все варианты. Сумма третьей колонки даёт математическое ожидание.

Разбор задач

Кубик бросают один раз

Случайная величина X — число очков на верхней грани. Нужно перечислить возможные значения и найти вероятность каждого из них. Кубик правильный, поэтому все шесть исходов равновероятны. Каждое число очков соответствует ровно одной грани.

1. Возможные значения X: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
2. Вероятность каждого значения равна 1/6, поскольку благоприятен один исход из шести равновероятных.
3. Записываем распределение: P(X = 1) = P(X = 2) = … = P(X = 6) = 1/6.

Ответ: закон распределения задаётся значениями 1, 2, 3, 4, 5, 6, каждому из которых соответствует вероятность 1/6. Проверка: шесть вероятностей по 1/6 дают в сумме 1. Это подтверждает, что перечислены все грани кубика.

Две монеты подбрасывают одновременно

X — число выпавших гербов. Сначала перечислим равновероятные исходы: «решка, решка», «герб, решка», «решка, герб», «герб, герб». Затем сгруппируем их по числу гербов. Это нужно потому, что два разных исхода дают одно и то же значение X.

1. Возможные значения X: 0, 1, 2.
2. Значение 0 получается в одном исходе, 1 — в двух, 2 — в одном. Поэтому вероятности равны соответственно 1/4, 2/4 и 1/4.
3. Вычисляем ожидание: M(X) = 0 · 1/4 + 1 · 2/4 + 2 · 1/4 = 1.

Ответ: P(X = 0) = 1/4, P(X = 1) = 1/2, P(X = 2) = 1/4; M(X) = 1. Средний результат равен одному гербу на опыт. При этом конкретный бросок может дать ноль, один или два герба.

Билет в лотерее стоит 20 рублей

Билет выигрывает 100 рублей с вероятностью 0,1, иначе выигрыш равен нулю. X — чистый выигрыш игрока, поэтому стоимость билета нужно учесть в обоих случаях. При выигрыше игрок получает 100 рублей, но платит 20; без выигрыша он теряет цену билета.

1. При выигрыше X = 100 − 20 = 80 рублей, вероятность этого значения — 0,1.
2. При отсутствии выигрыша X = 0 − 20 = −20 рублей, вероятность — 0,9.
3. Математическое ожидание: M(X) = 80 · 0,1 + (−20) · 0,9 = 8 − 18 = −10 рублей.

Ответ: X принимает значения 80 и −20 с вероятностями 0,1 и 0,9 соответственно; математическое ожидание равно −10 рублям. Отрицательное ожидание означает, что при большом числе таких покупок средний результат игрока составит потерю около 10 рублей на билет. Оно не означает, что именно столько потеряется в каждой отдельной игре.

Типичные ошибки

Перечислять исходы опыта вместо значений величины — значит смешивать два разных описания. Это часто происходит, когда несколько исходов дают одно число, как при броске двух монет. Сгруппируй исходы по значению X и сложи их вероятности: для проверки составь список всех значений, которые может принять величина.

Если забыть одно или несколько возможных значений, закон распределения окажется неполным. Ошибка возникает, когда рассматривают только самые очевидные исходы или не проверяют границы возможных результатов. Сложи указанные вероятности: если сумма меньше 1, перепроверь список значений и расчёты. Сумма 1 необходима, хотя сама по себе ещё не гарантирует, что все вероятности найдены верно.

Математическое ожидание нельзя находить как обычное среднее арифметическое значений, если вероятности у них разные. Такой способ кажется подходящим, когда выписывают только числа и забывают, что некоторые встречаются чаще других. Умножь каждое значение на его вероятность и сложи произведения. Проверь, что сумма вероятностей равна 1, а в вычислениях учтены все строки распределения.

При поиске выигрыша можно указать сумму приза вместо результата игрока. Так ошибаются, если не замечают, что для участия нужно заплатить за билет. Сначала определи, какой показатель задан в условии, а затем учти расходы при каждом возможном исходе. Проверь значения на простом случае: без выигрыша чистый результат должен учитывать потраченную сумму.

Связь с другими темами

Для составления закона распределения нужно уметь находить вероятность события, различать исходы опыта и применять сложение вероятностей несовместных событий. Именно эти знания помогают объединять исходы, которым соответствует одно значение случайной величины. Новая тема собирает отдельные вероятности в описание числового результата опыта. Она пригодится при оценке среднего результата повторяющихся испытаний, а также в задачах об играх, лотереях и риске.

Что запомнить

• Случайная величина сопоставляет числовое значение каждому исходу опыта.
• Разные исходы могут соответствовать одному значению случайной величины.
• Закон распределения связывает возможные значения величины с их вероятностями.
• Вероятности всех возможных значений в сумме дают 1.
• Математическое ожидание равно сумме произведений значений на их вероятности.
• Математическое ожидание описывает средний результат при многократном повторении опыта.