"Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни", Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.
Случайная величина — числовой результат, который зависит от исхода случайного опыта. Например, при броске кубика ею может быть число очков, а при извлечении шаров — количество красных. Чтобы описать такую величину, перечисляют её возможные значения и вероятность каждого из них. Эта информация называется законом распределения и часто записывается в таблице. По ней можно узнать вероятность нужного события, даже если результат отдельного опыта заранее неизвестен.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Случайная величина — величина, значение которой определяется исходом случайного опыта. В отличие от заранее известной величины, до опыта её конкретное значение может быть неизвестно, хотя возможные значения иногда перечислены. Например, число очков на верхней грани кубика зависит от результата броска. Это понятие позволяет описывать числовую сторону случайного события.
Дискретная случайная величина принимает конечное или счётное множество значений. Счётным называют множество, элементы которого можно перечислить по порядку, даже если их бесконечно много. Число выпавших гербов в нескольких бросках — дискретная величина, потому что может принимать лишь целые значения от нуля до числа бросков. Такое определение помогает понять, когда значения удобно перечислить в таблице.
Закон распределения случайной величины описывает все её возможные значения и вероятности этих значений. Для каждого значения указывают, насколько вероятно, что именно оно получится в опыте. Одних значений недостаточно: они не показывают, какие исходы встречаются чаще. Закон распределения нужен, чтобы полностью описать случайную величину и вычислять вероятности связанных с ней событий.
Таблица распределения — способ записать закон распределения: в одной строке помещают возможные значения, а в другой — соответствующие им вероятности. Значения обычно обозначают x₁, x₂ и так далее, а вероятности — P(X = x₁), P(X = x₂) и так далее. Например, в столбце под значением 2 стоит вероятность события X = 2. Таблица помогает быстро увидеть все пары «значение — вероятность».
Чтобы задать случайную величину, сначала определяют случайный опыт, а затем каждому его исходу ставят в соответствие число. Например, при броске двух монет числом может быть количество выпавших гербов. Разные исходы, такие как «герб, решка» и «решка, герб», дают одно значение — 1. Поэтому исходы и значения величины не следует путать: величина объединяет исходы, которым соответствует одинаковое число.
Случайную величину описывают не одним числом, потому что до опыта неизвестно, какой именно результат реализуется. Одно значение показывает лишь один возможный вариант и не сообщает, какие есть другие варианты. Кроме того, оно не объясняет, насколько часто каждый вариант может возникать. Перечень значений вместе с вероятностями даёт более полную картину случайного результата.
Чтобы составить закон распределения, перечислите возможные значения величины, найдите вероятность каждого и проверьте, что рассмотрены все случаи. Вероятность значения X = x — это вероятность того, что опыт приведёт к исходу или нескольким исходам, которым соответствует x. Если значению отвечают разные исходы, их вероятности складывают, когда эти исходы несовместны. Проверка полноты нужна, чтобы ни один возможный результат не остался за пределами таблицы.
Сумма вероятностей всех возможных значений равна 1, потому что при проведении опыта обязательно наступит один из предусмотренных результатов. События X = x₁, X = x₂ и так далее попарно несовместны: величина не может одновременно принять два разных значения. Вместе они охватывают все варианты опыта, поэтому их вероятности в сумме дают вероятность достоверного события — 1. Если сумма отличается от 1, стоит проверить список значений и вычисления.
По таблице можно найти вероятность события, заданного условием на величину, например X > 4 или X = 1. Сначала отметьте значения, которые удовлетворяют условию, затем сложите вероятности из соответствующих столбцов. Так, для условия X > 4 подходят все значения больше четырёх, а остальные столбцы не учитываются. Такой способ удобен, потому что событие через величину сводится к объединению событий о её отдельных значениях.
| Характеристика | Содержание |
|---|---|
| Обозначение случайной величины | Заглавная буква, например X |
| Возможные значения случайной величины | x₁, x₂, …, xₙ — полный список значений |
| Вероятность каждого значения | P(X = xᵢ) для соответствующего значения xᵢ |
| Сумма вероятностей | P(X = x₁) + … + P(X = xₙ) = 1 |
| Событие, вероятность которого можно найти по таблице | Например, X ∈ A; складывают вероятности значений, входящих в A |
Сначала найдите в верхней строке таблицы нужные значения, затем возьмите вероятности прямо под ними. Для события, объединяющего несколько значений, сложите их вероятности. Сумма всех вероятностей служит проверкой того, что распределение полное.
Задача 1. При подбрасывании монеты случайная величина X равна числу выпавших гербов. Составьте закон распределения X. Решение: при одном подбрасывании возможны два исхода, и каждому соответствует своё число гербов. Монета считается честной, поэтому исходы равновероятны.
Ответ: X принимает значения 0 и 1 с вероятностями 1/2 и 1/2 соответственно. В таблицу попали именно значения числа гербов, а не названия исходов монеты.
Задача 2. Игральный кубик бросают один раз, Y — число очков на верхней грани. Найдите вероятность события Y > 4 по закону распределения. Решение: считаем кубик честным, поэтому каждое из шести значений равновероятно. Условие отбирает только некоторые значения из таблицы.
Ответ: P(Y > 4) = 1/3. Сложение допустимо, так как события Y = 5 и Y = 6 не могут произойти одновременно.
Задача 3. В коробке 3 красных и 2 синих шара, два шара извлекают без возвращения. Z — число извлечённых красных шаров; составьте закон распределения и проверьте сумму вероятностей. Решение: возможны три результата по числу красных шаров. Всего пар шаров без учёта порядка C(5, 2) = 10, и они равновероятны.
Ответ: Z принимает значения 0, 1, 2 с вероятностями 1/10, 6/10, 3/10. Их сумма равна 1, значит все варианты учтены.
Ошибка — записывать в таблицу исходы опыта вместо значений случайной величины. Её допускают, когда смешивают описание того, что произошло, с числом, которое этому исходу поставили в соответствие. Несколько исходов могут давать одно и то же значение, как два порядка выпадения герба и решки при бросании монет. Проверьте, что в строке значений стоят числа, принимаемые величиной, а вероятность каждого числа учитывает все соответствующие исходы.
Неполный список значений или включение невозможного значения делает закон распределения неверным. Такое происходит, если не разобрать все варианты опыта или поспешно перенести в таблицу числа, которые кажутся подходящими. Для проверки рассмотрите возможные исходы по очереди и выясните, какое значение получается в каждом случае. Если значение невозможно или для возможного значения нет столбца, таблицу нужно исправить.
Нельзя считать, что все значения случайной величины равновероятны, не проверив это. Иногда вероятность значения зависит от того, сколько исходов ему соответствует, поэтому одинаковое число исходов для значений может и не получиться. Ошибка возникает из-за переноса правила о честной монете или кубике на любой опыт. Найдите вероятность каждого значения отдельно, учитывая все исходы, которые ему соответствуют.
Если сумма вероятностей отличается от 1, нельзя оставлять это без проверки. Обычно причина — пропущенный вариант, двойной подсчёт исхода или ошибка в вычислениях. Перепроверьте и список значений, и вероятности, а затем сложите их ещё раз. Правильная сумма 1 — необходимый признак полного закона распределения.
Для работы со случайными величинами нужны понятия случайного опыта, его исхода и вероятности события. При вычислении вероятностей значений применяют правила подсчёта вариантов и сложение вероятностей несовместных событий. Например, значение может соответствовать нескольким исходам, поэтому их вероятности объединяют. Законы распределения станут основой для дальнейшего изучения числовых характеристик случайных величин и решения задач теории вероятностей.
Почему величину называют случайной, если её возможные значения известны заранее?
Случайность состоит не в том, что набор значений неизвестен, а в том, что до опыта нельзя точно предсказать, какое из них реализуется. Например, у кубика возможны значения от 1 до 6, но результат конкретного броска заранее неизвестен.
Могут ли разные исходы опыта дать одно и то же значение случайной величины?
Да. При двух бросках монеты исходы «герб, решка» и «решка, герб» различны, но число выпавших гербов в обоих случаях равно 1. Поэтому закон распределения составляют для значений величины, а не для всех исходов по отдельности.
Как проверить, что таблица распределения составлена правильно?
Проверьте, что перечислены все возможные значения и не включены невозможные. Затем убедитесь, что у каждого значения указана верная вероятность, а сумма всех вероятностей равна 1.
Обязательно ли случайная величина должна принимать только целые значения?
Нет. Случайная величина может принимать и дробные значения, например время ожидания автобуса в минутах. Дискретная величина принимает конечное или счётное множество значений, а её значения не обязаны быть целыми.
Как найти вероятность того, что случайная величина примет значение из заданного набора?
Найдите в законе распределения все значения из заданного набора и сложите соответствующие им вероятности. Это работает потому, что события, при которых величина принимает разные значения, несовместны.
§ 71. Случайные величины
