§ 72. Центральные тенденции

Определения и обозначения

Среднее арифметическое — сумма всех значений ряда, делённая на число значений. Например, для чисел x₁, x₂, …, xₙ среднее равно (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n. Оно показывает общий уровень данных и помогает одним числом охарактеризовать весь набор, а не отдельное наблюдение. Поэтому этот показатель полезен, когда важен общий результат, рассчитанный с учётом каждого значения.

Медиана — значение, стоящее в середине упорядоченного ряда. Если значений чётное число, за медиану принимают среднее арифметическое двух средних значений ряда. Медиана делит упорядоченные данные на две части: примерно половина значений не больше неё, а другая половина не меньше. Она нужна, чтобы описать середину ряда, не позволяя отдельному необычно большому или малому числу сильно сместить результат.

Мода — значение, которое встречается в ряду чаще других. Она показывает наиболее распространённый вариант и особенно удобна, когда нужно выяснить, какое значение или категория попадается чаще всего. Мода может быть одна, несколько или отсутствовать: если все значения встречаются одинаковое число раз, среди них нет единственного наиболее частого. В отличие от среднего и медианы, мода не обязана быть числом, если изучаются категории, например цвета или марки товаров.

Как это устроено

Для поиска медианы ряд сначала упорядочивают, потому что понятие «середина» относится к расположению значений от меньшего к большему, а не к их месту в исходной записи. Если элементов нечётное число, середина приходится на один элемент: по обе стороны от него окажется одинаковое количество значений. Если элементов чётное число, центральными будут два соседних элемента. Их среднее арифметическое и задаёт медиану, поскольку единственного среднего места между двумя элементами нет.

Среднее арифметическое находят так: складывают все значения и делят сумму на их количество. Деление на число наблюдений превращает общую сумму в значение, приходящееся в среднем на одно наблюдение. Каждое число входит в сумму, поэтому изменение любого значения влияет на результат. Именно по этой причине среднее хорошо описывает общий уровень, когда важен вклад всех данных, но оно не обязательно совпадает с каким-либо конкретным элементом ряда.

Чтобы найти моду, подсчитывают частоту каждого значения — то есть сколько раз оно встретилось. Наибольшая частота указывает на моду; если её делят несколько значений, мод будет несколько. Если частоты всех значений одинаковы, выбрать самое частое нельзя и мода не определяется. Мода отвечает на вопрос «что встречается чаще?», медиана — «что находится посередине?», а среднее — «какой общий уровень получается с учётом всех значений?».

Одно очень большое или очень малое значение может заметно изменить среднее, потому что оно целиком входит в сумму. Например, добавление необычно высокой зарплаты поднимает средний заработок группы, даже если доходы большинства не изменились. Медиана зависит от центрального положения в упорядоченном ряду, поэтому отдельный крайний результат обычно влияет на неё слабее. Это не значит, что медиана никогда не изменится: если необычное значение меняет центральное положение, результат тоже может стать другим.

Показатель выбирают, исходя из вопроса, на который нужно ответить. Среднее подходит для оценки общего уровня, когда каждое наблюдение должно повлиять на результат; медиана — когда значения резко различаются и нужно найти типичную середину. Мода нужна, если интересует наиболее частый вариант, например популярный размер обуви или цвет товара. Иногда полезно привести сразу несколько показателей: каждый описывает данные с другой стороны, и вместе они дают более полную картину.

Показатели центральной тенденции

Сначала определите, какой вопрос задаёт задача: про общий уровень, середину ряда или самый частый вариант. Затем выберите соответствующую строку таблицы и проверьте, есть ли значения, резко отличающиеся от остальных. При таком выборе не обязательно ограничиваться одним показателем: сравнение помогает понять особенности данных.

Разбор задач

Задача 1. Найдите среднее арифметическое значений 4, 6, 7, 9. Нужно учесть каждое из четырёх чисел, поэтому сначала найдём их общую сумму, а затем разделим её на количество значений. Это действие показывает, сколько пришлось бы на одно значение, если бы сумма распределилась поровну. Запишем вычисления по шагам.

1. Сложим числа: 4 + 6 + 7 + 9 = 26.
2. Посчитаем значения: их 4.
3. Разделим сумму на количество: 26 / 4 = 6,5.

Ответ: среднее арифметическое равно 6,5. Оно не обязано совпадать с одним из чисел ряда: это показатель общего уровня, рассчитанный по всем значениям. Проверить вычисление можно умножением результата на количество: 6,5 · 4 = 26, то есть исходная сумма восстановилась.

Задача 2. Найдите медиану ряда 3, 8, 5, 11, 6, 9. В записи числа расположены не по порядку, поэтому сначала переставим их, не меняя сам набор значений. Элементов шесть, то есть их количество чётное. Значит, после упорядочивания нужно найти два средних элемента и вычислить их среднее арифметическое.

1. Расположим числа по возрастанию: 3, 5, 6, 8, 9, 11.
2. Выделим два средних элемента: 6 и 8.
3. Найдём их среднее: (6 + 8) / 2 = 7.

Ответ: медиана равна 7. Она может не входить в исходный ряд, потому что при чётном количестве элементов медианой служит среднее двух центральных чисел. Проверка: по обе стороны от промежутка между 6 и 8 находится по три значения.

Задача 3. В пяти магазинах продали 12, 13, 13, 14 и 48 одинаковых товаров. Найдём среднее, медиану и моду, а затем решим, какой показатель лучше описывает обычные продажи. Все пять наблюдений нужны для среднего, а медиана и мода покажут положение середины и наиболее частое значение. Сравнение ответов поможет увидеть влияние необычно большой продажи.

1. Среднее: (12 + 13 + 13 + 14 + 48) / 5 = 100 / 5 = 20.
2. Ряд уже упорядочен; его средний, третий элемент равен 13, поэтому медиана — 13.
3. Чаще всего встречается 13, поэтому мода — 13.
4. Сравним показатели: четыре результата находятся между 12 и 14, а значение 48 намного выше.

Ответ: среднее равно 20, медиана — 13, мода — 13. Для характеристики обычных продаж здесь лучше подходит медиана: она отражает середину большинства результатов, тогда как 48 поднимает среднее. Если же задача требует учитывать общий объём продаж на один магазин, среднее остаётся нужным показателем.

Типичные ошибки

Искать медиану в неупорядоченном ряду — ошибка, потому что среднее по записи число не обязательно находится в середине по величине. Её допускают, когда принимают исходный порядок за значимый или торопятся сразу отметить центральное место. Перед поиском медианы расположите значения по возрастанию либо убыванию. Для самопроверки убедитесь, что слева и справа от центрального места стоят соответственно меньшие и большие значения.

При чётном числе значений иногда называют медианой одно из двух средних чисел. Так происходит, если забыть, что между двумя центральными элементами нет одного среднего элемента. Нужно сложить эти два числа и разделить результат на два. Проверьте ответ: при чётном количестве медиана должна располагаться между центральными значениями или совпадать с ними, если они равны.

Считать, что мода обязательно одна, неверно: одинаково часто могут встречаться несколько значений. Бывает и обратная ошибка — назвать модой любое повторяющееся число, хотя другое встречается чаще, либо искать моду, когда все частоты равны. Составьте подсчёт частот и сравните их между собой. Модой будет каждое значение с наибольшей частотой, а при равных частотах всех значений моды нет.

Считать среднее самым подходящим показателем для любой задачи опасно, потому что крайнее значение способно сильно сдвинуть его относительно большинства наблюдений. Обычно это происходит из-за того, что необычное число входит в сумму целиком. Сравните среднее с медианой и посмотрите, насколько различаются сами значения ряда. Если важна типичная середина при наличии выброса, используйте медиану; если нужен общий уровень с учётом всех чисел, среднее может быть уместнее.

Связь с другими темами

Для работы с центральными тенденциями нужно уметь находить среднее арифметическое, сравнивать числа и упорядочивать их. Эти навыки позволяют вычислять показатели и правильно определять место элемента в ряду. При подсчёте моды пригодится умение группировать одинаковые значения и считать, сколько раз каждое встретилось. Поэтому тема опирается на обычные арифметические действия и порядок чисел.

Показатели центральной тенденции применяют при анализе статистических данных и сравнении выборок — наборов наблюдений, собранных для изучения какого-либо явления. Например, ими можно сопоставить результаты контрольных работ двух классов или продажи разных магазинов. Один показатель не всегда раскрывает все особенности данных: различие между средним и медианой может указать на влияние отдельных крайних результатов. Поэтому при сравнении важно учитывать и саму задачу, и устройство ряда.

Что запомнить

• Среднее арифметическое равно сумме значений, делённой на их количество.
• Перед поиском медианы ряд упорядочивают.
• При нечётном числе значений медиана — средний элемент.
• При чётном числе значений медиана — среднее двух средних элементов.
• Мода — значение с наибольшей частотой.
• Выбросы сильнее влияют на среднее арифметическое, чем на медиану.