Центральные тенденции

Определения и обозначения

Среднее арифметическое — сумма всех значений набора, делённая на их количество. Например, для чисел 2, 4 и 6 оно равно (2 + 4 + 6) / 3 = 4. Этот показатель нужен, чтобы одним числом передать общий уровень данных; в расчёт входит каждое значение.

Медиана — значение, которое делит упорядоченный набор данных пополам. Сначала числа располагают по возрастанию или убыванию: при нечётном количестве берут центральное, а при чётном находят среднее двух центральных. Медиана помогает определить середину ряда, не позволяя отдельным крайним значениям занять центральное место.

Мода — значение, встречающееся в наборе чаще других. Её находят, подсчитывая, сколько раз встречается каждое значение; например, в наборе 1, 2, 2, 5 мода равна 2. У набора может быть несколько мод, если наибольшая частота совпадает у разных значений, или ни одной выделенной моды, если частоты не различаются.

Центральные тенденции — характеристики, которыми описывают типичное или центральное значение набора данных. К ним относятся среднее арифметическое, медиана и мода, но каждая из них определяет центр по-своему. Эти показатели нужны для краткого описания данных и сравнения наборов.

Как это устроено

При сравнении наборов данных перечисление всех чисел часто не помогает быстро увидеть их общий уровень. Показатель центральной тенденции сжимает набор до одного значения, которое удобно сопоставить с таким же показателем другого набора. Однако разные способы определения центра отвечают на разные вопросы: о среднем уровне, середине ряда или самом частом значении.

Среднее арифметическое можно представить как результат равного распределения общей суммы между всеми наблюдениями. Если сложить значения и разделить сумму на их количество, каждый элемент набора участвует в расчёте одинаково. Поэтому изменение любого числа меняет сумму и может изменить среднее, а особенно крупное или маленькое значение способно сдвинуть его заметно.

Для нахождения медианы данные упорядочивают, потому что слово «середина» относится к положению в ряду. Если значений нечётное количество, одно число оказывается ровно в центре, а слева и справа от него остаётся одинаковое число наблюдений. Если значений чётное количество, центральных чисел два; их среднее арифметическое становится серединой между ними.

Моду определяют через частоты, то есть количество появлений каждого значения. Такой способ отвечает на вопрос, какое значение встречается чаще всего, а не какое находится в центре ряда или задаёт его средний уровень. Поэтому мода может не совпадать с медианой и средним; равная наибольшая частота у нескольких значений даёт несколько мод.

Подходящий показатель выбирают с учётом того, как устроены данные и что именно требуется описать. Крайнее значение участвует в сумме и может заметно сдвинуть среднее, тогда как при вычислении медианы важнее порядок наблюдений. Поэтому для набора с редким очень большим значением медиана часто лучше передаёт положение основной части данных, а мода полезна, когда нужно узнать самое распространённое значение.

Сравнение показателей центральной тенденции

Сначала определите, какой вопрос задан: об общем уровне, о середине упорядоченного ряда или о наиболее частом значении. Затем выберите соответствующий способ и проверьте, есть ли в данных крайние значения. Сравнение нескольких показателей помогает точнее понять набор.

Разбор задач

Задача 1. Найти среднее арифметическое набора 4, 6, 7, 9.

Среднее должно учитывать все четыре наблюдения, поэтому сначала найдём их общую сумму. Затем разделим её на число значений; так мы узнаем, какая доля общей суммы приходится на одно наблюдение при равном распределении.

1. Складываем числа: 4 + 6 + 7 + 9 = 26.
2. Считаем значения: их 4.
3. Делим сумму на количество: 26 / 4 = 6,5.

Ответ: среднее арифметическое равно 6,5.

Задача 2. Найти медиану набора 8, 3, 5, 10, 6.

Прежде чем выбирать середину, расположим значения по возрастанию. В получившемся ряду пять чисел, то есть количество нечётное, поэтому центральным будет одно значение, а не среднее двух.

1. Упорядочиваем набор: 3, 5, 6, 8, 10.
2. Находим значение в середине ряда: слева и справа от 6 находятся по два числа.

Ответ: медиана равна 6.

Задача 3. Для набора 2, 3, 3, 4, 5, 20 определить среднее, медиану и моду; сравнить показатели и объяснить влияние значения 20.

Набор уже упорядочен. Сначала найдём каждый показатель по его правилу, а затем сравним результаты: так будет видно, меняет ли крайнее значение общий вывод о типичном уровне данных.

1. Складываем все числа: 2 + 3 + 3 + 4 + 5 + 20 = 37. Делим сумму на 6: среднее равно 37/6, или примерно 6,17.
2. Значений шесть, поэтому берём два центральных — третье и четвёртое: 3 и 4. Их среднее равно (3 + 4) / 2 = 3,5, это медиана.
3. Чаще остальных встречается 3: оно появляется дважды, остальные числа — по одному разу. Значит, мода равна 3.

Ответ: среднее равно 37/6, медиана — 3,5, мода — 3. Значение 20 увеличивает среднее, тогда как медиана и мода отражают расположение и частоту остальных значений.

Типичные ошибки

Медиану находят в неупорядоченном наборе. Тогда значение, стоящее посередине записи, может быть не серединой данных: исходный порядок чисел не показывает их величину. Ошибку допускают, когда сразу выбирают число из середины списка. Проверка проста: сначала расставьте значения по возрастанию и только потом ищите середину.

При чётном количестве значений выбирают одно из двух центральных. Но ни одно из них не делит ряд пополам само по себе; серединой между ними является их среднее арифметическое. Такая ошибка возникает из-за привычки искать одно центральное число. Проверьте количество значений и, если оно чётное, вычислите среднее двух центральных.

Моду путают с медианой или средним. Мода определяется тем, как часто встречается значение, а не его положением в ряду или суммой всех чисел. Путаница появляется, когда три показателя называют просто «центром» и не различают способы расчёта. Для проверки подсчитайте частоты каждого значения и выберите то, у которого частота наибольшая.

Считают, что у набора всегда ровно одна мода. При одинаковой наибольшей частоте у нескольких значений мод будет несколько, а если все значения встречаются одинаково часто, выделенной моды нет. Это заблуждение возникает из-за представления, что каждому набору обязательно соответствует одно самое частое число. Сверьте частоты: если максимум общий для нескольких значений или частоты равны, учитывайте это в ответе.

Связь с другими темами

Для работы с центральными тенденциями полезно уметь упорядочивать числа, находить среднее арифметическое и подсчитывать частоты значений. Эти действия опираются на навыки вычислений и сравнения чисел, которые изучаются в алгебре. Среднее, медиану и моду применяют при анализе таблиц и статистических данных, а также при сравнении наборов наблюдений. Например, с их помощью можно сопоставить результаты двух групп, не перечисляя каждое измерение.

Что запомнить

• Среднее арифметическое равно сумме значений, делённой на их количество.
• Для поиска медианы набор сначала упорядочивают.
• При нечётном количестве данных медиана — одно центральное значение.
• При чётном количестве данных медиана — среднее двух центральных значений.
• Мода — значение с наибольшей частотой.
• Крайние значения могут заметно изменить среднее арифметическое.