Меры разброса

Определения и обозначения

Размах выборки — разность между наибольшим и наименьшим значениями набора. Его обозначают R и находят по формуле R = xₘₐₓ − xₘᵢₙ. Размах быстро показывает ширину промежутка, в котором расположены данные. Он полезен для первичной оценки разброса.

Дисперсия — среднее арифметическое квадратов отклонений значений от их среднего арифметического. Для данных x₁, …, xₙ формула имеет вид D = ((x₁ − x̄)² + … + (xₙ − x̄)²) / n, где x̄ — среднее, а n — число значений. Дисперсия учитывает каждое наблюдение. Она помогает оценить, насколько набор в целом рассеян относительно среднего.

Среднее квадратичное отклонение — квадратный корень из дисперсии: σ = √D. Греческую букву σ (сигма) используют для его обозначения. Чем больше σ, тем в среднем заметнее отклонения значений от среднего. Показатель удобен для интерпретации, потому что имеет те же единицы, что и данные.

Частота значения — число его появлений в наборе. Если значение xᵢ встречается nᵢ раз, то при вычислении дисперсии его квадрат отклонения учитывают nᵢ раз. При общем числе наблюдений N = Σnᵢ формула такова: D = Σ(nᵢ(xᵢ − x̄)²) / N. Частоты позволяют обработать данные, записанные в таблице, не расписывая каждое повторение отдельно.

Как это устроено

Размах находят по двум крайним значениям: наименьшему и наибольшему. Их разность показывает, насколько далеко друг от друга могут располагаться данные на всём интервале. Но внутри этого интервала значения могут быть сгруппированы по-разному, а размах останется тем же. Поэтому по одному размаху нельзя судить о разбросе остальных наблюдений.

Чтобы оценить отклонения всего набора, сначала находят среднее арифметическое, а затем сравнивают с ним каждое значение. Отклонение показывает, на сколько и в какую сторону значение отстоит от среднего. Однако сумма отклонений равна нулю: положительные отклонения компенсируют отрицательные. Значит, простое среднее отклонений не может служить мерой разброса.

Если возвести отклонения в квадрат, все полученные числа станут неотрицательными: знак отклонения исчезнет, но величина расхождения сохранится. Усреднение квадратов поэтому показывает, насколько значения в совокупности удалены от среднего. Именно так возникает дисперсия. Большая дисперсия означает более сильный разброс, а нулевая возможна, только если все значения одинаковы.

Когда данные записаны с частотами, отдельное значение не обязательно выписывать столько раз, сколько оно встретилось. Вместо этого его квадрат отклонения умножают на частоту: так вклад повторяющегося значения учитывается нужное число раз. Затем все вклады складывают и делят на общее количество наблюдений N. Среднее для такой таблицы тоже находят с учётом частот: x̄ = Σ(nᵢxᵢ) / N.

В дисперсии отклонения возводятся в квадрат, поэтому и единицы измерения становятся квадратными. Например, для данных в метрах дисперсия выражается в квадратных метрах. Чтобы вернуться к исходным единицам, извлекают квадратный корень и получают среднее квадратичное отклонение. Поэтому его значение обычно легче сопоставить с самими данными.

Основные меры разброса

Выбирайте меру в зависимости от вопроса: размах нужен для оценки крайних значений, а дисперсия — для учёта всего набора. Если требуется понятная интерпретация в привычных единицах, используйте σ. При таблице частот проверяйте, что в знаменателе стоит общее число наблюдений, а не количество разных значений.

Разбор задач

Задача 1. Для набора данных 3, 5, 7, 9 найдите размах. Здесь нужны только крайние значения, поэтому сначала определим минимум и максимум. Затем вычтем меньшее из большего. Это соответствует определению размаха.

1. Наименьшее значение равно 3, наибольшее — 9.
2. Подставим их в формулу: R = 9 − 3 = 6.
3. Проверим: размах должен быть положительным и охватывать промежуток от 3 до 9.

Ответ: 6.

Задача 2. Для набора 2, 4, 6 найдите среднее арифметическое и дисперсию. Сначала найдём центр данных, относительно которого измеряются отклонения. Затем возведём каждое отклонение в квадрат и усредним результаты. Так отрицательные и положительные отклонения не сократятся.

1. Среднее: x̄ = (2 + 4 + 6) / 3 = 4.
2. Отклонения от среднего: 2 − 4 = −2, 4 − 4 = 0, 6 − 4 = 2. Их квадраты равны 4, 0 и 4.
3. Дисперсия: D = (4 + 0 + 4) / 3 = 8/3.

Ответ: среднее равно 4, дисперсия равна 8/3.

Задача 3. Значения 1, 3, 5 имеют частоты 2, 1, 3. Найдите дисперсию и среднее квадратичное отклонение. Сначала восстановим общее число наблюдений и найдём среднее с весами-частотами. Затем посчитаем вклад каждого значения в сумму квадратов отклонений. В конце извлечём корень из дисперсии.

1. Общее число наблюдений N = 2 + 1 + 3 = 6. Среднее: x̄ = (1·2 + 3·1 + 5·3) / 6 = 20/6 = 10/3.
2. Сумма квадратов отклонений с учётом частот: 2(1 − 10/3)² + (3 − 10/3)² + 3(5 − 10/3)² = 38/3.
3. Дисперсия D = (38/3) / 6 = 19/9. Тогда σ = √(19/9) = √19/3 ≈ 1,45.

Ответ: дисперсия равна 19/9, среднее квадратичное отклонение — √19/3 ≈ 1,45.

Типичные ошибки

Размах иногда ошибочно вычисляют как наибольшее значение минус среднее. Так поступают, потому что среднее уже найдено при решении других задач, но оно не определяет край интервала. Для проверки найдите минимум и максимум и убедитесь, что вы вычли именно их. Размах всегда равен xₘₐₓ − xₘᵢₙ.

Усреднение самих отклонений даёт ноль, поэтому оно не показывает разброс. Ошибка возникает, если забыть о знаках: значения выше среднего дают положительные отклонения, ниже — отрицательные. Возведите отклонения в квадрат и проверьте, что все слагаемые неотрицательны. Тогда компенсации знаков не будет.

В таблице частот легко посчитать каждое указанное значение один раз и потерять повторения. Это занижает или искажает вклад значений, встречающихся несколько раз. Умножайте квадрат отклонения на частоту, а среднее также считайте с частотами. Самопроверка: сумма частот должна совпадать с числом всех наблюдений.

Дисперсию иногда принимают за среднее квадратичное отклонение. Путаница возникает потому, что оба показателя связаны с квадратами отклонений. Проверьте вычисление: σ должно равняться √D, а единицы дисперсии должны быть квадратными. Если нужна исходная единица измерения, используйте σ.

Связь с другими темами

Для вычисления мер разброса сначала нужно уметь находить среднее арифметическое. Также понадобятся действия с квадратами и квадратными корнями: без них нельзя вычислить дисперсию и среднее квадратичное отклонение. Повторите эти навыки, если в формулах возникают затруднения. Они нужны и при работе с обычным списком, и при обработке таблицы частот.

Меры разброса применяют, когда сравнивают наборы данных с близкими средними. Например, одинаковое среднее не означает, что значения распределены одинаково: один набор может быть тесно сгруппирован, а другой — сильно рассеян. Дисперсия и среднее квадратичное отклонение помогают увидеть это различие. Такие показатели используют при анализе статистической информации.

Что запомнить

• Размах равен разности наибольшего и наименьшего значений.
• Дисперсия учитывает отклонения всех значений от среднего.
• Для вычисления дисперсии отклонения возводят в квадрат.
• При наличии частот значения учитывают с соответствующим числом повторений.
• Среднее квадратичное отклонение — квадратный корень из дисперсии.
• Среднее квадратичное отклонение выражается в тех же единицах, что и исходные данные.