§ 73. Меры разброса

Определения и обозначения

Размах вариации — разность между наибольшим и наименьшим значениями набора: R = xₘₐₓ − xₘᵢₙ. Он показывает ширину интервала, в котором находятся все данные. По размаху можно быстро оценить общий разброс, хотя он не описывает расположение чисел внутри интервала.

Отклонение от среднего — разность между отдельным значением и средним арифметическим: xᵢ − x̄. Если значение больше среднего, отклонение положительно, а если меньше — отрицательно. Знак показывает, с какой стороны от среднего находится число.

Дисперсия — среднее арифметическое квадратов отклонений значений от среднего. Для набора из n чисел D = ((x₁ − x̄)² + … + (xₙ − x̄)²) / n. Она учитывает отклонение каждого числа и даёт общую числовую характеристику разброса.

Среднее квадратичное отклонение — квадратный корень из дисперсии: σ = √D. Оно показывает типичный масштаб отклонений значений от среднего. В отличие от дисперсии, σ измеряется в тех же единицах, что и исходные данные, поэтому результат проще соотнести с самими числами.

Как это устроено

Чтобы найти размах, достаточно определить крайние значения упорядоченного или неупорядоченного ряда и вычесть из максимума минимум. Это быстро: остальные числа для вычисления не нужны. Поэтому размах показывает ширину всего интервала данных, но два набора с одинаковыми крайними значениями получат одинаковый размах, даже если их внутренние значения расположены по-разному.

Отклонения от среднего бывают разных знаков, потому что числа могут лежать как выше среднего, так и ниже него. Сумма отклонений равна нулю: положительные и отрицательные части уравновешивают друг друга. Это следует из равенства суммы всех значений n x̄, поэтому простое среднее отклонений ничего не говорит о величине разброса.

Чтобы отклонения не уничтожали друг друга, каждое из них возводят в квадрат. Тогда все слагаемые становятся неотрицательными, а большие по модулю отклонения дают особенно заметный вклад, поскольку их квадраты растут быстрее. Среднее квадратов отклонений и называют дисперсией: деление на число значений n позволяет получить среднюю величину такого вклада на одно наблюдение.

Иногда удобнее находить дисперсию не через отдельные отклонения, а по формуле D = (x₁² + … + xₙ²) / n − x̄². Чтобы увидеть её происхождение, раскроем квадрат: (xᵢ − x̄)² = xᵢ² − 2xᵢx̄ + x̄². После суммирования среднее значение выражений −2xᵢx̄ и x̄² даёт −2x̄² + x̄², поэтому остаётся среднее квадратов чисел минус квадрат среднего.

В дисперсии единицы исходных данных тоже возводятся в квадрат, поэтому её значение бывает непривычно истолковывать напрямую. Извлечение квадратного корня отменяет это возведение и возвращает измерение к исходным единицам. Так получают среднее квадратичное отклонение, которое удобнее понимать как масштаб разброса относительно среднего.

Меры разброса данных

Сначала выбери, что нужно узнать: ширину интервала, общий разброс всех значений или его величину в исходных единицах. Для первого случая подходит размах, для второго — дисперсия, а для удобного толкования дисперсии используют её квадратный корень. При сравнении наборов применяй одну и ту же меру к каждому из них.

Разбор задач

Задача 1. Для набора чисел 2, 4, 5, 9 найдите размах. Размах зависит только от наибольшего и наименьшего значений, поэтому среднее арифметическое искать не требуется. Сначала определим границы набора, затем вычтем меньшую из большей.

1. Наибольшее значение равно 9, наименьшее — 2.
2. Вычислим разность: R = 9 − 2 = 7.

Ответ: размах равен 7.

Задача 2. Для чисел 1, 3, 5 найдите среднее арифметическое и дисперсию. Чтобы вычислить дисперсию, сначала найдём центр набора, а затем выясним, насколько каждое число от него отстоит. Квадраты этих отклонений не будут взаимно уничтожаться, и их среднее даст искомую меру.

1. Среднее: x̄ = (1 + 3 + 5) / 3 = 3.
2. Отклонения: 1 − 3 = −2, 3 − 3 = 0, 5 − 3 = 2.
3. Квадраты отклонений: 4, 0, 4. Дисперсия: D = (4 + 0 + 4) / 3 = 8/3.

Ответ: среднее равно 3, дисперсия равна 8/3.

Задача 3. Сравните наборы 2, 4, 6 и 0, 4, 8 по размаху, дисперсии и среднему квадратичному отклонению. В обоих случаях среднее равно 4, однако значения первого набора ближе к нему. Поэтому вычислим каждую меру отдельно и сравним полученные результаты.

1. Размах первого набора: 6 − 2 = 4; второго: 8 − 0 = 8.
2. Отклонения от 4 в первом наборе равны −2, 0, 2, поэтому D₁ = (4 + 0 + 4) / 3 = 8/3. Во втором отклонения −4, 0, 4, поэтому D₂ = (16 + 0 + 16) / 3 = 32/3.
3. Средние квадратичные отклонения: σ₁ = √(8/3), σ₂ = √(32/3). Второе больше, как и размах второго набора.

Ответ: у второго набора больше размах, дисперсия и среднее квадратичное отклонение. Одинаковое среднее не означает одинакового разброса: числа могут располагаться от него на разных расстояниях.

Типичные ошибки

Вычитать среднее вместо минимума. Так иногда поступают, потому что среднее тоже характеризует положение набора. Но размах — это расстояние именно между крайними значениями: нужно найти максимум и минимум. Проверь себя, подставив в формулу R = xₘₐₓ − xₘᵢₙ только эти два значения.

Усреднять отклонения без квадратов. Ошибка возникает, если забыть о знаках: положительные и отрицательные отклонения при сложении взаимно уничтожаются. В итоге получится ноль, даже когда числа заметно отличаются от среднего. Проверь сумму отклонений: она действительно должна быть нулевой, а разброс оценивай по квадратам.

Делить сумму квадратов на n − 1. Такое деление может встретиться при других статистических задачах, но здесь требуется дисперсия данного набора, поэтому сумму квадратов отклонений делят на число его значений n. Если в наборе четыре числа, знаменатель равен четырём. Проверь, что учитываешь все имеющиеся значения.

Считать дисперсию величиной в исходных единицах. Поскольку в формуле отклонения возводят в квадрат, дисперсия измеряется в квадрате исходной единицы. Ошибку можно заметить по смыслу и размерности: при данных в сантиметрах дисперсия выражена в квадратных сантиметрах. Корень из неё, а не сама дисперсия, возвращает исходные единицы.

Связь с другими темами

Для вычисления мер разброса нужно уметь находить среднее арифметическое, выполнять действия с дробями и возводить числа в квадрат. Эти навыки помогают без ошибок вычислить отклонения и их квадраты. Меры разброса используют при анализе статистических данных и сравнении наборов, в том числе с близкими средними значениями: среднее само по себе не показывает, насколько разрознены числа. Позднее эти идеи пригодятся при изучении статистических характеристик и разброса случайной величины.

Что запомнить

• Размах равен максимуму минус минимум.
• Размах зависит только от двух крайних значений.
• Сумма отклонений значений от их среднего равна нулю.
• Дисперсия — среднее квадратов отклонений от среднего.
• Дисперсия неотрицательна.
• Среднее квадратичное отклонение равно квадратному корню из дисперсии.
• Среднее квадратичное отклонение выражено в единицах исходных данных.