Случайные величины

Определения и обозначения

Случайная величина — величина, значение которой зависит от исхода случайного опыта. Например, при броске кубика X может обозначать число выпавших очков: после опыта X окажется равной одному из чисел от 1 до 6. Это понятие позволяет описать результат опыта числом и затем исследовать его вероятности.

Дискретная случайная величина принимает отдельные, перечислимые значения. Такова величина, равная числу орлов при двух бросках монеты: она может быть равна 0, 1 или 2. Перечень возможных значений нужен, чтобы представить все варианты, которые следует учитывать в расчётах.

Закон распределения случайной величины — описание её возможных значений и вероятностей этих значений. Его можно записать, например, в виде таблицы: в одной строке стоят значения, в другой — соответствующие вероятности. Закон распределения нужен, чтобы видеть, какие результаты возможны и насколько вероятен каждый из них.

Математическое ожидание — среднее значение случайной величины, вычисляемое как сумма произведений её возможных значений на соответствующие вероятности. Если величина принимает значения x₁, …, xₙ с вероятностями p₁, …, pₙ, то M(X) = x₁p₁ + … + xₙpₙ. Эта характеристика помогает оценить средний результат опыта при большом числе повторений.

Как это устроено

Сначала задают случайный опыт, затем каждому его исходу сопоставляют число — так появляется случайная величина. При броске кубика исходом служит конкретная грань, а значением X становится число очков на ней. Исход и значение не одно и то же: разные исходы иногда могут давать одно и то же значение величины. Такое числовое описание удобно, потому что позволяет применять к результатам вычисления и сравнивать их.

У дискретной величины перечисляют только те значения, которые она действительно может принять. Например, число орлов при двух бросках не может быть ни ½, ни 3: доступны только 0, 1 и 2. Перечислять все числа на числовой прямой нет смысла, поскольку большинство из них не связано ни с одним исходом этого опыта. Конечный список значений делает распределение понятным и позволяет не учитывать невозможные результаты.

Чтобы составить закон распределения, записывают возможные значения и вероятность каждого из них. Для этого исходы опыта сопоставляют значениям величины; если несколько исходов дают одинаковое значение, их вероятности складывают. Вероятности всех возможных значений должны в сумме дать 1, потому что величина обязательно примет какое-то значение из полного списка. Это равенство служит проверкой того, что ни один вариант не пропущен и лишний не добавлен.

Математическое ожидание находят по закону распределения: каждое значение умножают на его вероятность, после чего произведения складывают. Значения с большей вероятностью сильнее влияют на результат, поэтому простое среднее перечисленных чисел обычно не подходит. Например, если X равна 0 или 1 с вероятностями ½ и ½, то M(X) = ½, хотя сама величина значения ½ не принимает. Это не ошибка: ожидание описывает средний результат серии опытов, а не обязательно отдельный исход.

Закон распределения помогает не только перечислять вероятности, но и находить вероятность события, заданного через значения X. Если событие выполняется при нескольких значениях, складывают вероятности этих значений, поскольку они соответствуют взаимоисключающим вариантам. При двух бросках монеты число орлов X принимает значения 0, 1 и 2; событие X ≥ 1 происходит при значениях 1 и 2. Поэтому вероятность события можно вычислить прямо по таблице, не пересчитывая исходы заново.

Закон распределения дискретной случайной величины

Сначала найдите в таблице все возможные значения и сопоставьте каждому вероятность. Для события, включающего несколько значений, сложите соответствующие вероятности. Для математического ожидания умножьте каждое значение на его вероятность и сложите полученные произведения.

Разбор задач

Задача 1

При одном броске игрального кубика случайная величина X равна числу выпавших очков. Запишите возможные значения X и их вероятности. Кубик считаем правильным, поэтому все его грани равновероятны. Нужно связать каждый исход броска со значением величины.

1. У кубика шесть исходов: выпадает одна из граней с числами от 1 до 6. Значит, X может принять значения 1, 2, 3, 4, 5, 6.
2. Каждому значению соответствует одна грань из шести равновероятных. Поэтому P(X = k) = 1/6 для k от 1 до 6.
3. Проверяем: шесть вероятностей по 1/6 дают сумму 1, значит, перечислены все варианты.

Ответ: значения X: 1, 2, 3, 4, 5, 6; вероятность каждого значения равна 1/6.

Задача 2

Монету бросают дважды, X — число выпадений орла. Составьте закон распределения X и найдите вероятность события X ≥ 1. Сначала перечислим исходы, считая порядок бросков важным. Это позволяет увидеть, сколько исходов соответствует каждому значению величины.

1. Возможны исходы ОО, ОР, РО, РР, где О — орёл, Р — решка. У честной монеты каждый исход имеет вероятность 1/4.
2. В исходе РР орлов 0, в исходах ОР и РО — по 1, а в ОО — 2. Поэтому P(X = 0) = 1/4, P(X = 1) = 2/4 = 1/2, P(X = 2) = 1/4.
3. Событие X ≥ 1 соответствует значениям 1 и 2. Складываем их вероятности: 1/2 + 1/4 = 3/4.

Ответ: закон распределения: X = 0, 1, 2 с вероятностями 1/4, 1/2, 1/4; P(X ≥ 1) = 3/4.

Задача 3

Случайная величина X принимает значения 0, 1 и 2 с вероятностями 0,2; p и 0,3. Найдите p и математическое ожидание X. Вероятности должны описывать все возможные значения величины, поэтому сначала используем условие их суммы. После этого подставим найденное число в формулу ожидания.

1. Записываем условие: 0,2 + p + 0,3 = 1. Отсюда p = 1 − 0,2 − 0,3 = 0,5.
2. Проверяем вероятности: 0,2; 0,5 и 0,3 неотрицательны и дают в сумме 1. Значит, распределение согласуется с условием.
3. Вычисляем ожидание: M(X) = 0 · 0,2 + 1 · 0,5 + 2 · 0,3 = 1,1.

Ответ: p = 0,5; M(X) = 1,1.

Типичные ошибки

Случайный исход иногда принимают за случайную величину. Например, «выпала третья грань» — описание исхода, а число выпавших очков — значение X, связанное с этим исходом. Путаница возникает потому, что в простых опытах исход удобно называть тем же числом. Проверьте себя: для величины должно быть указано правило, по которому каждому исходу ставится в соответствие число.

В закон распределения могут записать только возможные значения и забыть вероятности. Тогда список результатов не позволяет понять, насколько вероятен каждый вариант, и по нему нельзя вычислить ожидание. Такая ошибка часто возникает, когда сначала перечисляют исходы, а затем не переходят к подсчёту их вероятностей. Проверьте, что каждому значению соответствует отдельная вероятность.

Ещё одна ошибка — не проверить вероятности: иногда указывают отрицательное число или получают сумму, отличную от 1. Отдельные вычисления могут выглядеть правдоподобно, но такой набор не описывает все возможные результаты опыта. Сверьте каждую вероятность с условием и сложите их; сумма должна равняться единице.

Математическое ожидание иногда находят как обычное среднее значений, не учитывая вероятности. Это верно лишь в отдельных случаях, например при равных вероятностях; в общем случае редкие и частые результаты должны влиять на среднее по-разному. Проверка: каждому значению в формуле M(X) должен соответствовать множитель — его вероятность, а затем все произведения складываются.

Связь с другими темами

Для изучения случайных величин нужны понятия случайного опыта, его исхода и вероятности события. Исход описывает результат опыта, а вероятность показывает, насколько он возможен; случайная величина присваивает исходу число. Поэтому важно различать исход, событие и числовое значение, связанное с исходом.

Законы распределения и математическое ожидание пригодятся при изучении статистики и оценке результатов случайных экспериментов. Распределение показывает, какие значения встречаются и с какой вероятностью, а ожидание даёт ориентир для среднего результата. При многократном повторении опыта наблюдаемые средние можно сопоставлять с этой теоретической характеристикой.

Что запомнить

• Случайная величина связывает исходы опыта с числами.
• Закон распределения указывает возможные значения величины и вероятности этих значений.
• Вероятности значений дискретной случайной величины неотрицательны.
• Сумма вероятностей всех возможных значений равна единице.
• Вероятность события, заданного несколькими значениями величины, находят сложением соответствующих вероятностей.
• Математическое ожидание вычисляют как сумму произведений значений на их вероятности.