"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни)", Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др.
Статистическая вероятность — оценка вероятности события, полученная по результатам повторных случайных испытаний. Для неё считают, как часто событие произошло, и делят это число на общее количество опытов. Такая оценка помогает, когда теоретическую вероятность трудно вычислить или исходы неравновозможны. Чем больше испытаний, тем обычно устойчивее относительная частота, но она не обещает точного результата следующего опыта и может отличаться от теоретической вероятности.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Случайный эксперимент — опыт, результат которого заранее неизвестен, хотя возможные результаты можно описать. Например, при броске кубика заранее неизвестно, какое число выпадет, но возможны числа от 1 до 6. Это понятие нужно, чтобы отличать случайные наблюдения от опыта с заранее определённым результатом.
Относительная частота события — отношение числа испытаний, в которых событие произошло, к общему числу испытаний. Если событие произошло m раз в n испытаниях, частота равна m/n. Она показывает, какую долю всех наблюдений составили случаи события.
Статистическая вероятность события — относительная частота, полученная в серии испытаний и используемая для оценки вероятности события. Например, если орёл выпал в 53 опытах из 100, оценка равна 53/100. Она нужна, когда вероятность нельзя легко получить теоретическим расчётом.
Устойчивость относительной частоты — наблюдаемое свойство: при увеличении числа испытаний частота обычно колеблется меньше и приближается к некоторому значению. Это не означает, что каждое новое наблюдение обязательно делает частоту ближе к нему. Понятие помогает понять, почему большой объём данных обычно даёт более надёжную оценку.
Чтобы оценить вероятность события по наблюдениям, проводят серию одинаковых случайных испытаний и считают, сколько раз событие произошло. Испытания должны быть сопоставимыми: если условия меняются, результаты уже могут описывать разные ситуации. Поэтому при проверке качества изделий важно учитывать один и тот же способ производства и контроля.
Относительную частоту находят по формуле m/n, где m — число появлений события, а n — общее число испытаний. Делить нужно именно на все испытания, потому что частота отвечает на вопрос, какую часть всей серии составили появления события. Значение находится от 0 до 1: ноль означает, что событие ни разу не произошло, а единица — что оно происходило каждый раз.
В качестве статистической вероятности принимают относительную частоту из достаточно большой серии испытаний. Большая серия важна потому, что в короткой серии даже несколько случайных удач или неудач сильно меняют долю. Полученная величина всё равно остаётся оценкой: она описывает результаты уже проведённых опытов, но не указывает точно, чем закончится следующий.
Когда испытаний становится больше, относительная частота обычно колеблется меньше и оказывается ближе к некоторому устойчивому значению. Причина в том, что отдельный случайный результат составляет всё меньшую долю большой серии. Однако на конечном числе опытов частота может заметно отличаться от предполагаемой вероятности, а после каждого нового опыта она может как увеличиваться, так и уменьшаться.
Статистический подход особенно полезен, когда исходы нельзя считать равновозможными или теоретическую вероятность трудно вычислить. Например, вероятность брака зависит от реального производства и может быть неизвестна заранее. Наблюдения за изделиями дают практическую оценку, которую можно использовать для планирования, но условия будущей партии должны быть сопоставимы с условиями проверки.
| Понятие | Как находят или понимают | Что показывает |
|---|---|---|
| Число испытаний | Общее количество проведённых опытов, обозначают n | Объём серии наблюдений |
| Число появлений события | Количество испытаний, в которых событие произошло, обозначают m | Сколько раз событие наблюдалось |
| Относительная частота | Число появлений делят на число всех испытаний: m/n | Долю испытаний, в которых событие произошло |
| Статистическая вероятность | Относительную частоту большой серии используют как оценку | Приближённую вероятность события по наблюдениям |
| Изменение при увеличении числа испытаний | Частота обычно становится устойчивее, но продолжает колебаться | Насколько надёжна оценка по серии |
Сначала найдите общее число испытаний и число появлений события, затем вычислите их отношение. Полученную частоту можно записать десятичной дробью или процентом. При сравнении оценок учитывайте размер серий: большая серия обычно даёт более устойчивый результат.
Здесь событие — выпадение орла, а число его появлений равно 53. Всего проведено 100 испытаний, поэтому именно 100 должно стоять в знаменателе. Оценка по этой серии будет равна найденной относительной частоте.
Ответ: относительная частота равна 0,53, или 53%; статистическая вероятность выпадения орла по этим данным оценивается числом 0,53. Это оценка для серии, а не гарантия выпадения орла в следующем броске.
Наблюдаемое событие — выпадение шестёрки; оно произошло 97 раз за 600 бросков. Частоту сравним с теоретической вероятностью для правильного кубика, равной 1/6. Эти значения могут отличаться, потому что серия конечна и результаты случайны.
Ответ: статистическая вероятность оценивается как 97/600 ≈ 0,162, или около 16,2%. Теоретическая вероятность равна примерно 16,7%; небольшое отличие в 600 бросках возможно.
Доля бракованных изделий в проверенной партии даст оценку вероятности брака. Условия в новой партии считаются такими же, поэтому оценку можно применить к 5000 изделиям. Прогноз будет приблизительным: фактическое количество брака может отличаться.
Ответ: вероятность брака оценивается числом 0,015, или 1,5%; в партии из 5000 изделий можно ожидать примерно 75 бракованных. Это статистический прогноз при условии, что производство работает так же.
Считать относительную частоту точной вероятностью. Так делают, потому что частота выражается конкретным числом, но конечная серия может случайно дать отклонение. Проверьте себя: уточните, получено ли значение расчётом из модели или по наблюдениям; во втором случае это оценка.
Делить число появлений на него самого или на число неудачных исходов. Ошибка возникает, когда теряют смысл знаменателя в формуле. В знаменателе должно стоять общее число испытаний n, поскольку частота показывает долю события среди всей серии. Проверьте, что m/n не превышает 1 и что n включает как успехи, так и неудачи.
Сравнивать частоты серий разного размера, не учитывая число испытаний. Одинаковая разница в числе событий имеет разный смысл в десяти и в тысяче опытов. Поэтому сравнивайте относительные частоты и обращайте внимание на объём каждой серии. Перед выводом запишите и число испытаний, и число появлений события.
Думать, что частота обязательно станет равна вероятности или событие «должно» произойти в следующем опыте. Такое ожидание появляется из-за неверного понимания устойчивости как строгого закона для каждого шага. На деле случайные колебания сохраняются, и результат отдельного опыта заранее не определён. Проверьте себя: частота описывает прошлую серию, а не обязательный исход будущего испытания.
Для работы с темой нужно знать, что такое случайное событие и испытание, а также уметь находить отношение двух чисел. Полезно переводить десятичную дробь в проценты, например 0,015 = 1,5%. Статистическая вероятность связывает эти вычисления с анализом реальных данных: её используют при обработке опросов и наблюдений, оценке надёжности изделий и прогнозировании случайных событий. В таких задачах важно не выдавать оценку за точное предсказание.
Чем статистическая вероятность отличается от относительной частоты?
Относительная частота — конкретное отношение числа появлений события к числу всех испытаний в выбранной серии. Если её используют как оценку вероятности, говорят о статистической вероятности; это не точное значение, а результат наблюдений.
Почему относительная частота может не совпасть с теоретической вероятностью?
В каждой конечной серии случайные результаты могут распределиться неравномерно. Поэтому наблюдаемая частота колеблется около теоретической вероятности, но не обязана быть ей равна.
Обязательно ли относительная частота приближается к вероятности с каждым новым испытанием?
Нет. После отдельного испытания частота может как приблизиться к вероятности, так и отдалиться от неё. Устойчивость проявляется обычно при рассмотрении больших серий, а не при каждом шаге.
Можно ли считать вероятность по результатам одной или нескольких попыток?
Посчитать относительную частоту можно и по короткой серии, но такая оценка ненадёжна: одно событие сильно меняет результат. Для более устойчивой оценки нужны многочисленные сопоставимые испытания.
Как использовать статистическую вероятность для прогноза числа событий?
Оценку вероятности умножают на число будущих испытаний. Полученное число показывает ожидаемое количество событий приблизительно, а не гарантирует результат.
Статистическая вероятность
