§ 70. Статистическая вероятность

Определения и обозначения

Случайное событие — событие, которое в отдельных испытаниях может произойти или не произойти. Например, при броске монеты случайным событием будет выпадение орла. Это понятие позволяет описывать результат, который заранее нельзя предсказать с уверенностью.

Частота события — число испытаний, в которых событие произошло. Если орёл выпал 56 раз, частота выпадения орла равна 56. Частота показывает количество наступлений, но сама по себе не говорит, какую долю составляют эти случаи.

Относительная частота события — отношение числа наступлений события к общему числу испытаний: m/n. Здесь m — частота, а n — число всех испытаний. Эта величина нужна, чтобы сравнивать результаты серий разного размера; её также можно записать в процентах.

Статистическая вероятность — значение, к которому приближается относительная частота при большом числе повторных испытаний. Её оценивают по наблюдениям, когда точное вычисление по модели затруднено или невозможно. Такая оценка не гарантирует точного результата в каждой серии.

Как это устроено

Одно испытание обычно не позволяет судить, насколько часто может возникать случайное событие: оно лишь показывает один из возможных результатов. Поэтому проводят серию испытаний, стараясь сохранять одинаковые условия. Независимость испытаний означает, что результат одного не должен определять результат другого; иначе подсчёт отражал бы влияние предыдущих исходов, а не обычное поведение события. Повторение даёт материал для сравнения и более обоснованной оценки.

После серии нужно установить общее число испытаний n и число испытаний, в которых событие произошло, m. Например, если монету подбросили 100 раз и орёл появился в 56 случаях, то n = 100, а m = 56. Важно учитывать все проведённые испытания, в том числе те, в которых событие не наступило. Тогда подсчёт описывает всю серию, а не только удачные для события результаты.

Одного числа m недостаточно для сравнения разных серий: 20 наступлений могут быть частым результатом в 30 испытаниях и редким в 1000. Поэтому находят долю наступлений, деля m на n. Результат можно представить обыкновенной дробью или десятичным числом, а для перевода в проценты умножить его на 100%. Такая запись делает понятным, какая часть всей серии завершилась наступлением события.

В небольшой серии случайные результаты могут сильно влиять на долю: несколько дополнительных наступлений заметно меняют отношение m/n. Когда испытаний становится больше, отдельный результат составляет меньшую часть всей серии, поэтому относительная частота обычно колеблется менее резко. Она часто приближается к некоторому устойчивому значению, хотя не обязана изменяться плавно или постоянно приближаться на каждом шаге. Устойчивость — причина, по которой большая серия информативнее одной или нескольких коротких.

Если относительная частота в большой серии стабилизировалась, её используют как оценку статистической вероятности события. Например, доля бракованных деталей в большой партии помогает оценить вероятность получить бракованную деталь. Оценка остаётся приблизительной: на неё влияют случайные колебания и то, насколько испытания соответствуют друг другу. Чем больше и качественнее собраны наблюдения, тем полезнее оценка, но сами результаты не доказывают точное значение вероятности.

На графике видно, что относительная частота может заметно колебаться в начале серии, а затем держаться ближе к значению 0,5. Горизонтальная линия показывает ожидаемую вероятность выпадения орла у симметричной монеты; точки не обязаны лежать на ней. График иллюстрирует тенденцию, а не правило о точном совпадении в каждой серии.

Величины, используемые при определении статистической вероятности

Сначала определите n — общее число испытаний, а затем m — сколько раз произошло событие. Для получения относительной частоты разделите m на n; полученное значение можно оставить дробью или перевести в проценты. Статистическую вероятность оценивают по этой доле, когда наблюдений достаточно много.

Разбор задач

Монету подбросили 100 раз, орёл выпал в 56 случаях. Найдём относительную частоту выпадения орла. Здесь число испытаний n = 100, а число наступлений события m = 56; требуется узнать долю успешных для события исходов во всей серии.

1. Записываем данные: m = 56, n = 100. Проверяем, что в знаменателе стоит общее число бросков, а не число выпадений решки.
2. Применяем формулу относительной частоты: m/n = 56/100 = 0,56. Чтобы получить проценты, умножаем десятичную дробь на 100%.
3. Получаем 56%. Это доля бросков, в которых выпал орёл, а не обещание такого же результата в следующей серии.

Ответ: относительная частота выпадения орла равна 0,56, или 56%.

Из 500 изготовленных деталей 12 оказались бракованными. Нужно оценить статистическую вероятность получения бракованной детали. Поскольку нам дана только серия наблюдений, используем долю бракованных деталей как приближённую оценку.

1. Общее число деталей — n = 500, число бракованных — m = 12. Считаем, что детали изготовлены в условиях, представительных для рассматриваемого производства.
2. Вычисляем относительную частоту: m/n = 12/500 = 0,024. В процентах это 0,024 · 100% = 2,4%.
3. Используем полученную долю как оценку вероятности. Она относится к условиям этой серии и может отличаться от результата для другой партии.

Ответ: статистическая вероятность оценивается как 0,024, или 2,4%.

При 100, 500 и 1000 бросках кости шестёрка выпадала соответственно 18, 79 и 164 раза. Сравним относительные частоты: важно поделить каждое число выпадений на соответствующее число бросков. Так можно проверить, как меняется оценка при росте объёма серии.

1. Для 100 бросков получаем 18/100 = 0,18, то есть 18%. Эта серия даёт наибольшую долю среди трёх приведённых результатов.
2. Для 500 бросков: 79/500 = 0,158, или 15,8%; для 1000 бросков: 164/1000 = 0,164, или 16,4%. Две последние оценки ближе друг к другу, чем первая к ним.
3. Делаем вывод: частоты колеблются, но оценки в более крупных сериях здесь расположены ближе. Их можно использовать для приближённой оценки вероятности шестёрки; классическая модель правильной кости даёт 1/6 ≈ 0,167.

Ответ: относительные частоты равны 0,18; 0,158 и 0,164. Результаты согласуются с приближением к 1/6, но по этим наблюдениям нельзя требовать точного совпадения.

Типичные ошибки

Частоту путают с относительной частотой: первая — число наступлений, вторая — доля наступлений среди всех испытаний. Путаница возникает потому, что обе величины описывают одно событие, но отвечают на разные вопросы. Проверьте результат: частота должна быть целым числом, а относительная частота при n > 0 лежит от 0 до 1 включительно или выражается процентом от 0% до 100%.

Иногда делят общее число испытаний на число наступлений, то есть вычисляют n/m вместо m/n. Это происходит, если обозначения не записаны до подстановки. Перед делением назовите числитель словами: наверху должно стоять число случаев, когда событие произошло, а внизу — число всех испытаний.

Относительную частоту короткой серии принимают за точную вероятность. Но несколько наблюдений могут случайно сильно отличаться от типичного результата, поэтому такая частота ненадёжна как точное значение. Уточните себя: если испытаний мало, называйте результат оценкой, а не доказанной вероятностью.

Также ошибочно ждать, что относительная частота останется неизменной или обязательно точно совпадёт с вероятностью в каждой серии. Её колебания естественны, особенно в начале наблюдений; увеличение числа испытаний обычно повышает устойчивость, но не заставляет каждую новую долю идти строго к цели. Проверяйте вывод по серии целиком и не делайте вывод о случайном событии по одному изменению частоты.

Связь с другими темами

Для вычислений нужны обыкновенные дроби, отношения, проценты и округление чисел. Эти навыки помогают правильно найти m/n и понятно представить результат. При округлении следует учитывать, что округлённое число — лишь удобная запись исходной оценки.

Классическую вероятность находят по математической модели равновозможных исходов, а статистическую оценивают по наблюдениям. Например, для правильной кости вероятность шестёрки в классической модели равна 1/6, а результаты серии бросков дают её экспериментальную оценку. Сопоставление помогает увидеть разницу между расчётом и измерением.

Статистическая вероятность используется при обработке экспериментов, оценке надёжности изделий и анализе массовых случайных явлений. В таких задачах точную модель иногда построить трудно, зато можно собрать данные. Понимание относительной частоты помогает оценивать, насколько выводы опираются на наблюдения.

Что запомнить

• Относительная частота события равна отношению числа его наступлений к общему числу испытаний.
• Формула относительной частоты: m/n.
• Относительную частоту можно выражать дробью, десятичным числом или процентами.
• При большом числе испытаний относительная частота обычно приближается к устойчивому значению.
• Статистическая вероятность определяется по результатам большого числа наблюдений.
• Статистическая вероятность является приближённой характеристикой случайного события.
• Небольшая серия испытаний может давать заметное отклонение относительной частоты от ожидаемого значения.