"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Случайная величина может принимать разные значения, каждое из которых имеет свою вероятность. Чтобы описать её поведение одним числом, используют математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение. Математическое ожидание показывает средний результат с учётом вероятностей, дисперсия — разброс значений, а среднее квадратичное отклонение помогает оценить этот разброс в привычных единицах. Эти характеристики позволяют сравнивать случайные исходы и оценивать риск.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Математическое ожидание — среднее значение случайной величины, вычисленное с учётом вероятностей её значений. Если X принимает значения x₁, x₂, …, xₙ с вероятностями p₁, p₂, …, pₙ, то M(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + … + xₙpₙ. Эта характеристика показывает, какой результат в среднем можно ожидать при большом числе повторений опыта.
Дисперсия — характеристика разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания. Она вычисляется как вероятностное среднее квадратов отклонений: D(X) = (x₁ − M(X))²p₁ + … + (xₙ − M(X))²pₙ. Чем больше дисперсия, тем сильнее возможные значения обычно удалены от среднего.
Среднее квадратичное отклонение — величина, показывающая типичный разброс значений; она равна квадратному корню из дисперсии: σ(X) = √D(X). В отличие от дисперсии, эта характеристика измеряется в тех же единицах, что и X. Поэтому её удобнее использовать для непосредственной оценки отклонения от среднего.
Математическое ожидание находят не обычным средним значений, потому что значения случайной величины могут встречаться с разной частотой. Умножение xᵢ на pᵢ показывает вклад этого значения в общий средний результат. Если значение вероятно, его вклад велик, а редкое значение влияет слабее, после чего все вклады складываются.
По таблице распределения сначала проверяют, что сумма вероятностей равна 1. Затем каждое значение из первой строки умножают на вероятность из второй строки и складывают произведения: M(X) = Σxᵢpᵢ. Полученное число не обязано быть одним из возможных значений, потому что это средний результат, а не отдельный исход опыта.
Чтобы описать разброс, для каждого значения находят отклонение xᵢ − M(X). Это отклонение возводят в квадрат, умножают на вероятность соответствующего значения и складывают: D(X) = Σ(xᵢ − M(X))²pᵢ. Так редкие и частые отклонения учитываются с разным весом.
Квадраты нужны потому, что отклонения слева и справа от среднего имеют разные знаки. Без возведения в квадрат положительные и отрицательные отклонения могли бы сократиться, и разброс оказался бы занижен или даже равен нулю. После вычисления дисперсии извлекают квадратный корень: σ(X) = √D(X), поэтому единицы измерения возвращаются к единицам самой случайной величины.
| Характеристика | Как вычислить | Что показывает |
|---|---|---|
| Математическое ожидание | M(X) = Σxᵢpᵢ | Среднее значение с учётом вероятностей |
| Дисперсия | D(X) = Σ(xᵢ − M(X))²pᵢ | Разброс значений относительно среднего |
| Среднее квадратичное отклонение | σ(X) = √D(X) | Типичный разброс в единицах X |
Сначала по таблице распределения находят математическое ожидание, затем используют его для вычисления дисперсии. Если требуется характеристика в тех же единицах, что и случайная величина, из дисперсии извлекают квадратный корень. Перед расчётами полезно убедиться, что все вероятности неотрицательны и в сумме дают 1.
Случайная величина X принимает значения 0 и 1 с вероятностями 0,7 и 0,3. Найдём её математическое ожидание.
Ответ: M(X) = 0,3.
Величина X принимает значения 0, 1 и 2 с вероятностями 0,2, 0,5 и 0,3. Требуется найти математическое ожидание и дисперсию.
Ответ: M(X) = 1,1, D(X) = 0,49.
Выигрыш X равен 100 руб. с вероятностью 0,1 и 0 руб. с вероятностью 0,9. Найдём три характеристики игры.
Ответ: M(X) = 10 руб., D(X) = 900 руб.², σ(X) = 30 руб.
Иногда возможные значения просто складывают или делят их сумму на количество значений. Так поступают, забывая, что вероятности могут быть разными. Проверка проста: в формуле математического ожидания каждое значение должно стоять в произведении со своей вероятностью.
Другая ошибка — не проверять сумму вероятностей. Если она не равна 1, таблица распределения составлена неверно или данные переписаны с ошибкой. Перед вычислениями сложите все вероятности и убедитесь, что результат равен 1.
При нахождении дисперсии некоторые усредняют обычные отклонения без квадратов. Положительные и отрицательные отклонения тогда могут уничтожить друг друга, хотя разброс есть. Проверьте каждое слагаемое: в нём должно быть выражение (xᵢ − M(X))².
Дисперсию иногда принимают за среднее квадратичное отклонение. Это разные характеристики: сначала получают D(X), а затем для σ(X) извлекают квадратный корень. Единицы измерения тоже помогают себя проверить: у дисперсии они возведены в квадрат.
До изучения характеристик нужно уметь читать таблицу распределения случайной величины. Вероятности всех её возможных значений должны в сумме давать 1. Это условие показывает, что перечислены все исходы опыта.
Вычисления требуют навыков действий с дробями и десятичными числами. Также понадобятся возведение в квадрат и извлечение квадратного корня. Ошибки в этих действиях меняют итоговые характеристики.
Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение используются для сравнения случайных исходов. С их помощью можно оценивать устойчивость результата и риск, например в играх или практических задачах теории вероятностей.
Может ли математическое ожидание не совпадать ни с одним возможным значением случайной величины?
Да, может. Например, если величина принимает значения 0 и 1 с одинаковыми вероятностями, её математическое ожидание равно 0,5, хотя такого значения среди возможных нет.
Почему при вычислении математического ожидания значения умножают на вероятности?
Вероятность показывает, насколько часто или весомо учитывается каждое значение. Поэтому более вероятные значения сильнее влияют на средний результат, а затем все такие вклады складывают.
Зачем в формуле дисперсии отклонения возводят в квадрат?
Отклонения от среднего бывают положительными и отрицательными. Возведение в квадрат делает их неотрицательными и не позволяет отклонениям взаимно уничтожаться.
Может ли дисперсия быть отрицательной?
Нет. В дисперсии складываются квадраты отклонений, а квадрат не бывает отрицательным, поэтому дисперсия всегда больше или равна нулю.
Чем среднее квадратичное отклонение отличается от дисперсии?
Среднее квадратичное отклонение равно квадратному корню из дисперсии. Дисперсия выражается в квадрате единиц случайной величины, а среднее квадратичное отклонение — в тех же единицах, что и сама величина.
38. Характеристики случайной величины
